2024年中考数学考信息必刷卷01（天津专用）

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数 学（天津专用）
2024年天津中考数学题型仍然是12（选择题）+6（填空题）+7（解答题），坚持以课标为命题依据，不断提高命题水平，不断提升试题科学化水平。国家政策要求中考命题要结合数学学科特点，合理设置试题结构，减少机械记忆试题和客观性试题比例，提高探究性、开放性、综合性试题比例，积极探索跨学科命题。
新考法1：第12题改变了以往特有题型，考查二次函数的实际应用的相关问题；
新考法2：第17题将会考查以三角形、四边形等图形为背景，中点条件为线索的几何综合计算，难度中等；
新考法3：第24题和第25题分别会考查坐标系中的图形变换和二次函数综合问题，抽象、推理、运算和分析能力缺一不可，并要求较高。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，2023年中考数学试卷中，1-10题，13-16题，19-20题的考题题型基本不变，维持历年必考知识点及形式，但在顺序上进行了调整。第11题将会考查图形变换的性质及其“衍生”图形的性质，虽是不同的图形变换，但这其中蕴含着“变”与“不变”的哲理。
在平时学习中要特别关注基础性、综合性、应用性和创新性的数学问题，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想方法，这些思想会蕴含于每道试题之中，运用得当可起到事半功倍的作用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算的结果（ ）
A．B．-15C．1D．15
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，正确使用有理数的乘法法则是求解本题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
3．2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．2.8×104C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为的形式，其中10，则-1=-12m2+2，
解得，m=6，
∴水面宽度为26m，②正确；
当水面下降2m时，
设B't,-2t>0，则-2=-12t2+2，
解得，
∴水面宽度为，
∴水面宽度增加了(42-4)m，③正确．
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．计算：-2ab3c24= ．
【答案】16a4b12c8
【分析】
根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：16a4b12c8．
【点睛】本题考查积的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘．
14．在-3，-2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax²中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
【答案】35
【分析】二次函数图象开口向上得出a>0，从所列5个数中找到a>0的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：从-3，-2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，
该二次函数图象开口向上的概率是35，
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．计算：(3+2)(3-2)= ．
【答案】1
【分析】利用平方差公式运算求解即可．
【详解】解：
=(3)2-(2)2
．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行简便运算，能够熟练运用平方差公式是解决本题的关键．
16．若直线y=kx+b与直线y=-2x+1平行，且经过点（2,0），则b=
【答案】4
【详解】∵直线y=kx+b与直线y=-2x+1平行,
∴k=-2,
∴y=-2x+b，
把（2,0）代入y=-2x+b得，
∴0=-4+b，
∴b=4.
故答案为4.
17．如图，在等腰中，，过点C作CD⊥BC，连接BD，交AC于点E，点F为BD中点，连接，AD，若，则AD= ．
【答案】5
【分析】延长交BC于点M，连接FC，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明AM是线段BC的垂直平分线，得AM⊥BC，BM=CM=AM，再证明，得，则，进而由勾股定理求出CF=5，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交BC于点M，连接FC，
，点F为BD的中点，
，
点F在线段BC的垂直平分线上，
是等腰直角三角形，
，
是线段BC的垂直平分线，
，BM=CM=AM，
，，
，
，
∴，
，
，，
，
，
，AF=CD，
∴四边形是平行四边形，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C在格点上，顶点A是小正方形边的中点．
（1）AB的长等于 ；
（2）E是线段AB与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点F在线段PB上（点F的位置不需要在图上标注），且满足．当EF取得最大值时，请在如图所示的网格中，用的直尺，画出点P与△ABC外接圆的圆心O，并简要说明点P与点O的位置是如何找到的 ．（不要求证明）
【答案】 372 将点B向下平移一个格点、向右平移6个格点，得格点D，连接BD，与△ABC外接圆相交于点P．连接AP，将点B向下平移2个格点、向右平移1个格点，得格点G，连接BG并延长与圆相交于点，连接CH，与AP交于O点．
【分析】①根据AB=32+122，计算求解即可；②由题意知，BEAB=13，BFBP=13，，则，即EFAP=13，可知当EF最大，即AP最大，则AP为直径，如图，取格点D，则BD与圆交点即为P，连接AP，由的圆周角所对的弦为直径可得AP为直径，取格点G，连接BG并延长与圆交点记为，连接CH，由的圆周角所对的弦为直径可得CH为直径，AP与CH的交点即为圆心O．
【详解】①解：AB=32+122=372，
故答案为：372；
②解：由题意知，BEAB=13，BFBP=13，，
∴，
∴EFAP=13，
当EF最大，即AP最大，
∴AP为直径，
如图，取格点D，连接BD，与外接圆相交于点P．连接AP，此时，由90°的圆周角所对的弦为直径可得AP为直径；
取格点G，则，连接BG并延长与圆相交于点，连接CH，此时，由90°的圆周角所对的弦为直径可得CH为直径；
CH与AP交点即为圆心O点．
（草图） （正式图）
∴点O与点P即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与格点，的圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识点的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集为____________．
【答案】(1) (2)x≤2 (3)见解析 (4)
【分析】（1）移项，即可求解；
（2）移项合并同类项，即可求解；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，即可求解；
（4）写出不等式组的解集，即可．
【详解】（1）解不等式①，得；
（2）解不等式②，得x≤2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为，
故答案为：，x≤2，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
20．（8分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：

(1)请补全条形统计图；所调查学生测试成绩的中位数为______；众数为______．
(2)所调查学生测试成绩的平均数为多少？
(3)若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
【答案】(1)9；10；图见解析 (2)8.56分 (3)1140
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；利用中位数、众数的求法，直接求值即可；
（2）利用平均数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【详解】（1）解：∵抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，
∴本次抽样人数为：（人），
∵成绩9分的人数占抽样人数的24%，
∴抽样学生中成绩为9分的有：（人），
补全条形统计图如下：

把该组数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数都是9，
∴该组数据的中位数为9，
∵该组数据中，10分出现的次数最多，
∴众数为10．
故答案为：9；10．
（2）平均数：（分），
∴所调查学生测试成绩的平均数为8.56分．
（3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%=76%，
∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：
（人），
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
21．（10分）已知点在上．
(1)如图①，过点A作的切线EF，交BC延长线于点E,D是弧BC的中点，连接DO并延长，交BC于点G，交于点，交切线EF于点F，连接BA,BH．若，求的大小；
(2)如图②，若，的半径为5，BC=8，求AB的长．
【答案】(1)
(2)72
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接OA，根据圆的切线的性质，得到，再根据圆周角定理，得到∠FOA=48°，进而得到，然后结合垂径定理求解即可；
（2）连接AC，过C作，垂足为M，根据圆周角定理，推出△AOC，是等腰直角三角形，进而得到AC=52，，再利用勾股定理，求出AM=32，即可得到AB的长．
【详解】（1）解：如图，连接OA，
为的切线，A为切点，
，．
，
，
，
是弧BC的中点，
，．
∴在Rt?FGE中，．
（2）解：如图，连接AC，过C作，垂足为M，
，，
，
，．
，是等腰直角三角形，
，BC=8，
，，
在Rt?AC-ansiM中，，
．
22．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为．
(1)求点到的距离的长；
(2)设建筑物的高度为（单位：）：
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）：
②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）．
【答案】(1)
(2)①；②建筑物的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数测高方法是解决问题的关键．
（1）根据题意得到，利用含的直角三角形性质计算即可得到答案；
（2）①根据题意，在和解直角三角形，数形结合，由代值求解即可得到答案；②过点作，垂足为，如图所示，利用矩形判定与性质，在中，解直角三角形求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
在，，，
∴，即的长为；
（2）解：①在中，，
∴，
在中，由，，，得，
∴，即的长为；
②过点作，垂足为，如图所示：
根据题意，，
∴四边形是矩形，
∴，，可得，
在中，，，
∴，即，
∴，
答：建筑物的高度约为．
23．（10分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离（千米）与时间t（小时）之间的函数关系．点B的坐标是，点C在线段上，

请根据图象解答下列问题：
(1)的表达式为____________________，的表达式为____________________；
(2)当轿车与货车相遇时，求此时t的值；
(3)当轿车与货车都在行驶时，问t在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米．
【答案】(1)；
(2)当时，轿车与货车相遇
(3)当轿车与货车相距小于30千米时，t的取值范围为
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由相遇可得，再建立方程求解即可；
（3）分相遇前与相遇后列不等式组，再解不等式组即可．
【详解】（1）解：设，把代入可得：
∴，解得：，
∴，
设，把，代入可得：
，解得：，
∴；
（2）当两车相遇时，，
即 ，
解得：，
当时，轿车与货车相遇 ；
（3）由题意可得：
，
解得：，
当轿车与货车相距小于30千米时，t的取值范围为．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点．
(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为．
（ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
（ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）．
【答案】(1)，；
(2)（ⅰ）；；（ⅱ）；
【分析】（1）根据，根据三角函数求值，设，根据中点坐标公式求出，求出；
（2）（ⅰ）分别求出，，，，根据求出结果即可，根据边界点求出t的取值范围即可；
（ⅱ）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，画出图形，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，
∵，四边形为菱形，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：（ⅰ）连接，
由点，点，得，
∵点，点，点，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴轴，
∴，
菱形中， ，
∴，
，
根据平移可知，，，
∴，
，
，
在中，由，得，
，
同理，得：，，
，
，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴当点恰好在上时，点的横坐标为，
根据平移可知：此时，
当点恰好在y轴上时，，
∴当重叠部分为五边形时，．
的取值范围是；
（ⅱ）当时，重叠部分为三角形，如图所示：
过点作轴，则，
根据解析（ⅰ）可知，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得：，负值舍去；
当时，重叠部分为五边形，且面积为：
，
∵，
∴当时，取最大值，
当时，，
∴当时，，
∴此时不可能等于；
当时，重叠部分为平行四边形，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上分析可知，当时，的值为；．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中点坐标公式，解直角三角形，求一次函数解析，等边三角形的判定和性质，二次函数的最值，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论．
25．（10分）已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为．
(1)求点和点坐标；
(2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标；
(3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)、
(2)
(3)是一个定值，此定值为，理由见解析
【分析】（1）由题意，设抛物线解析式为，利用待定系数法确定函数关系式，令求出点坐标，令求出点坐标；
（2）先利用待定系数法确定直线：，设，求出坐标，根据两点之间距离公式，结合二次函数图象与性质求解即可得到答案；
（3）由待定系数法确定抛物线：，设，且，得出坐标，再由两点之间距离公式求出，代值求即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线：的顶点为，
设抛物线解析式为，
抛物线：与x轴相交于点，
，解得，
抛物线：，
令，则，解得，即或，
，
令，则，即；
（2）解：如图所示：
由（1）知、，设直线：，则
，解得，
直线：，
设，则，
、，
，
∵
∴当时，有最大值，
此时；
（3）解：是一个定值，此定值为，理由如下：
抛物线：（是常数，）经过点，
，解得，即抛物线：，
由（1）知抛物线：，
设，且，则，
，
，，
，即在点运动过程中的比值是一个定值，此定值为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线图象与性质、待定系数法确定函数关系式、两点之间距离公式等知识，根据题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．