2024年中考数学考信息必刷卷04（四川成都专用）

这是一份2024年中考数学考信息必刷卷04（四川成都专用），文件包含信息必刷卷04四川成都专用-2024年中考数学考前信息必刷卷原卷版docx、信息必刷卷04四川成都专用-2024年中考数学考前信息必刷卷解析版docx、信息必刷卷04四川成都专用-2024年中考数学考前信息必刷卷参考答案docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
数 学（成都专用）
2024年成都中考数学试卷结构和内容基本上还是延续2023年的趋势！2024年数学试卷共26题，其中A卷18题（选择题：8道+填空题：5道+解答题：5道），B卷8题（填空题：5道+解答题：3道）。根据成都市教科院最新信息来看，依旧延续最近两年的改革策略，在知识结构方面，二次函数的考查不管是B卷填空还是解答，都更加注重函数图象性质（含参增减性与最值）以及与韦达定理的结合，反比例函数与一次函数综合压轴题增加了对特殊几何图形（含新定义）的考查；在试卷整体难度方面，基本维持近两年的难度不变。
新考法1：第13题重点关注尺规作图（角平分线与垂直平分线的性质）和几何图形综合；
新考法2：第18题重点考查反比例函数与一次函数综合，第（3）特别关注新定义的几何图形问题，运算能力和分析能力要求比较高。
新考法3：第22题极大可能分别会考查二次函数性质综合问题（含参增减性与最值），分析能力要求比较高。
新考法4：第23题会考查几何图形的变换或几何最值问题，探究能力、思维能力要求比较高。
新考法5：第25题考查二次函数综合问题（特别注意和韦达定理的结合相关问题），运算能力和分析能力要求比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础题（80分）（A卷（1-16题））；能力题（40分）（A卷17-18题、B卷19-21题及24题）；压轴题（30分）（B卷22-23题及25-26题）。中考试卷侧重增加数学文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度，同时应加强学生的作图、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力。特别注意应用型和创新型（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2024·河南周口·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，熟练掌握大小比较是解题的关键．首先计算各数的绝对值，然后比较即可．
【详解】，，，，∴，∴绝对值最大的数是．故选A．
2．（2024·山西晋城·一模）中国能源经济研究院公布了2023“中国能源企业（集团）500强”榜单．作为能源大省，山西共有52家能源企业上榜，企业数量与江苏并列第一．2023年的榜单数据显示，中国能源企业（集团）500强营收总额达32.47万亿元，较上年增加了60万亿元，同比增长，高于近五年平均增速其中数据“32.47万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的数值时，要看把把原数变成，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，为正数；当原数的绝对值时，为负数．据此即可获得答案．
【详解】解：32.47万亿．故选：B．
3．（2024·河南许昌·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、平方差公式、幂的乘方及二次根式的减法，解决本题的关键是熟练掌握相关运算法则，根据合并同类项、平方差公式、幂的乘方及二次根式的减法法则进行计算并判断即可．
【详解】，选项A错误；，选项B错误；
，选项C错误；，选项D正确，故选D．
4．（2023·山西吕梁·统考一模）如图，是的平分线，D，E，F分别是射线、射线、射线上的点，连接．若添加一个条件使，则这个条件可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断即可．
【详解】解：∵是的平分线，∴，
∵是公共边，∴当时，，故选项A符合题意；
当时，不能证明，故选项B不符合题意；
当时，不能证明，故选项C不符合题意；
当时，不能证明，故选项D不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．（2024·河南周口·一模）下图是关于某市某天7时~时这个整点时刻的气温折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．7时~时气温的极差是B．7时~时气温的众数是
C．7时~时气温的中位数是D．7时~时气温的平均数是
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A.极差是，故此选项正确，不符合题意；
B.，众数是，故此选项不正确，符合题意；
C.气温按从低到高顺序排列为，故中位数是，故此选项正确，不符合题意；D.平均数为，故此选项正确，不符合题意；故选：B．
6．（2024·河北邯郸·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设人数为人，下列说法错误的是（ ）
A．每人出8钱，则物价为钱B．每人出7钱，则物价为钱
C．列出关于的方程：D．物价是53钱
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设人数为人，根据每人出8钱，多出3钱可得物价为钱，根据每人出7钱，还差4钱可得物价为钱，据此列出方程求出x的值，进而求出物价即可得到答案．
【详解】解：设人数为人，∵每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱，
∴物价为钱或钱，∴，解得，
∴，∴物价是53钱，∴四个选项中只有A选项说法错误，符合题意；故选：A．
7．（2024·安徽·一模）如图，已知：平行四边形中，于的平分线交于，连接．则的度数等于（ ）

A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，求得，于是得到结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
平分，，，，
，，，，，
，，，
，，故选：C．
8．（2024·陕西西安·三模）已知二次函数中自变量x的部分取值和对应的函数值y如表所示：
下列说法中正确的个数有（ ）
①函数图象开口向上；②函数图象与的交点坐标是；
③当时，y随x的增大而增大；④顶点坐标是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则顶点坐标为，即可判断④，再由顶点处的函数值小于其他处的函数值得到该函数开口向上，则当时，y随x的增大而增大，即可判断①③，再由表格中的数据即可判断②．
【详解】解：∵当时和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，∴顶点坐标为，故④正确；
∵，即顶点处的函数值小于当的函数值，∴该函数开口向上，故①正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故③正确；
由表格可得函数图象与的交点坐标是，故②正确；
综上，说法正确的共有4个．故选：D．
第Ⅱ卷（共68分）
填空题（本题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．（2023·江苏南京·三模）分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，先利用平方差公式分解因式，然后合并同类项，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
10．（2024·山东济南·一模）代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，∴，
去分母得：，解得：，经检验：是原方程的解，故答案为：．
11．（2024·江苏盐城·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形的性质，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．
【详解】解：正方形的边长4，，
，，，
∴四边形的外接圆半径为．故答案为：．
12．（2024·重庆渝中·模拟预测）反比例函数的图象经过，，且，那么m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质．由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：由反比例函数可知图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小．
反比例函数的图象经过，，且，
点，不在同一象限，则点第一象限，点在第三象限．
，．故答案为：．
13．（2023·广西桂林·二模）如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点；②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点M，交于点N．若点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．
过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，根据正方形的性质得到，，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，在中利用等腰直角三角形的性质得到，所以，则，接着根据角平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，则，解得，所以，从而得到M点的坐标．
【详解】解：过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，
∵四边形为正方形，∴，，
由作法得平分，而，，∴，
∵，∴，在中，，
∴，∴，∵平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，解得，
∴，∴M点的坐标为．故答案为：．
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.其中：14题满分12分，15-16题每题满分8分，17-18题每题满分10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（12分）（2024·浙江温州·模拟预测）（）计算：．
（）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．

【答案】（）；（）不等式组的解集是，不等式组的整数解为：．
【分析】（）代入三角函数值、计算零指数幂和负整指数幂，化简绝对值，最后进行加减即可；
（）分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的口诀，确定不等式组的解集，把解集表示在数轴上表示出来，再根据不等式组的解集即可写出它的所有的整数解；
本题考查了实数的运算，解一元一次方程不等式组，掌握实数的运算法则和解一元一次方程不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：（）解：原式 （3分）
，（5分）
；（6分）
（）解：，
解不等式得，解不等式得，（8分）
∴不等式组的解集是，（9分）
不等式组的解集在数轴上表示如图，
（11分）
∴不等式组的整数解为：．（12分）
15．（8分）（2024·广东佛山·一模）哈尔滨是一座极具魅力的现代化都市，由于地理环境和独特的文化气息，它被人们称为冰城、东方小巴黎、东方莫斯科，2023年冬季哈尔滨火爆出圈也算是老牌网红“翻红”.某校九年级数学兴趣小组就“最想去的哈尔滨市旅游景点”，随机调查了本校九年级部分学生，提供五个具体景点选择：A：冰雪大世界；B：中央大街；C：东北虎林园；D：亚布力滑雪度假区；E：极地馆；F：其他.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，小明和小亮都准备今年冬季去哈尔滨旅游，他们恰好都选了冰雪大世界（只在五个具体景区中选择）的概率是______；(2)这次调查一共抽取了______名同学；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；(3)若九年级数学兴趣小组所在学校共有2400名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数．
【答案】(1)(2)60；，补全条形统计图见解析
(3)估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数约为1200名．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．（1）列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好都选了冰雪大世界的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次调查一共抽取的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可得旅游地点所对应的扇形圆心角的度数；求出选择的学生人数，补全条形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用2400乘以样本中和的学生人数所占的百分比的和，即可得出答案．
【详解】（1）解：列表如下：
共有25种等可能的结果，其中他们恰好都选了冰雪大世界的结果有1种，（3分）
他们恰好都选了冰雪大世界的概率为．故答案为：；（4分）
（2）解：这次调查一共抽取了（名同学．
扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为．（5分）
选择的人数为（人．补全条形统计图如图所示．
；（6分）
故答案为：60；；
（3）解：（名，
估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数约为1200名．（8分）
16.（8分）（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．

(1)求自动扶梯的长度；(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)25米(2)米
【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利线段的和差，即可解决问题．
【详解】（1）解：过D作于M，如图：
（1分）
在中，，∵(米)，∴(米)，（2分）
由勾股定理得(米)（3分）
（2）如图，过点D作于N，∵，∴四边形是矩形，（4分）
∴(米)，(米)，（5分）
由题意，(米)，∵，∴，（6分）
∴(米)，（米），
由题意，，(米)，∴，（7分）
∴(米)，∴米（8分）
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（10分）（2024·湖北武汉·一模）如图，内接于，过点C的切线交的延长线于点D，且，连接并延长交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握切线的性质．
（1）延长交圆于点，连接，根据切线的性质证明，再利用圆周角定理证明，进而可以解决问题；（2）结合（1）根据，，得，证明，可得，利用，求出的长，进而可以求的半径．
【详解】（1）证明：延长交圆于点，连接，（1分）
，，，，（2分）
是的直径，，，（3分）
是的切线，，，，，（4分）
，，；（5分）
（2）解：，，，（6分）
，，，，，（7分）
，，（8分）
，，，的半径为．（10分）
18．（10分）（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，（1分）
将点代入得：解得：∴
将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；（2分）
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，
又∵，∴∵，∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，∴ （3分）
设直线l的解析式是：，将点，点代入得：解得：
∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 （4分）
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，当时，；当时，，
∴点C的坐标为或（5分）
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，（6分）
将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
画出图形如下：又∵∴∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是： 将点代入得：
解得：∴直线的解析式是：（7分）
∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
设直线的解析式是：（8分）
将点，代入得：解得：
∴直线的解析式是：，（9分）
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：∴点P的坐标为
∴；∴（10分）
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．（22-23九年级上·四川德阳·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，∴，
∴，，，故答案为：．
20．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ．
【答案】2024
【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，发现结果均为1，依此解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴．故答案为：2024
21．（23-24九年级·浙江宁波·阶段练习）已知n个数，它们每一个数只能取0，1，这三个数中的一个，且满足，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是规律型：数字的变化类以及解二元一次方程组，结合数列中数的特点找出规律列出方程组是解答此题的关键．
设该数列中含有a个1，b个，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，再将其代入到中即可得出结论．
【详解】设该数列中含有a个1，b个，根据题意得， ∴
∴．故答案为：．
22．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
【答案】/
【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案．
【详解】解：对于，当时，，
解得：，，点的坐标为，
对于，当时，，点的坐标为，
作点关于轴对称的点，则点，
连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接，

当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．
理由如下：当点与点不重合，点与点不重合时，
根据轴对称的性质可知：，，
根据“两点之间线段最短”可知：，即：，
，，即：，
当点与点重合，点与点重合时，为最小．
点，，，，，，
在中，，，由勾股定理得：，
．即为最小值为．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置．
23．（2023·辽宁沈阳·一模）如图（1），在直角三角形纸片中，，，，点为的中点，点为上一动点，将纸片沿翻折，点的对应点为点，如图（2）．再将纸片沿翻折，点的对应点为点，如图（3）．当点落在原直角三角形纸片的边上时，的长为 ．

【答案】1或
【分析】分两种情况画图：①当点落在原直角三角形纸片的边上时，设与交于点，由折叠可得，，，然后证明，对应边成比例可得，，设，则，，，根据勾股定理即可求出的值，进而可以解决问题．②当点落在原直角三角形纸片的边上时，过点作于，证明，即可解决问题．
【详解】解：①当点落在原直角三角形纸片的边上时，如图所示：

点为的中点，，在中，根据勾股定理，得
，设与交于点，
由折叠可知：，，，，，
，，，，，，
设，则，，，
在中，根据勾股定理，得，
，整理得解得，．
②当点落在原直角三角形纸片的边上时，
根据题意可知：，，如图，过点作于，
，，，
设，则，，
，解得，．
综上所述的长为：1或．故答案为：1或．
【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题满分8分，25题满分10分，26题满分12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（8分）（2024·河南商丘·一模）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买A，B两种型号的劳动工具．已知A型劳动工具的单价比B型劳动工具少3元，且用3000元购买A型劳动工具的数量与用3450元购买B型劳动工具的数量相等．(1)求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？(2)该校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具的数量不少于A型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用．
【答案】(1)A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元
(2)购买这批劳动工具的最少费用为2102元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设A型劳动工具的单价为x元，则B型劳动工具的单价为元，根据“用3000元购买A型劳动工具的数量与用3450元购买B型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可；
（2）设购买B型劳动工具m个，则购买A型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设A型劳动工具的单价为x元，则B型劳动工具的单价为元．
根据题意，得，解得．（2分）
经检验，是原方程的解且符合题意，则，
答：A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元；（4分）
（2）设购买B型劳动工具m个，则购买A型劳动工具个，
设购买这批劳动工具的费用为元．则，（5分）
∵，∴随着的增大而增大．根据题意，得，解得，（7分）
∵m为整数，∴m的最小值为34，∴当时，最小，最小值为，
答：购买这批劳动工具的最少费用为2102元．（8分）
25．（10分）（2023·四川成都·二模）如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，；(3)定值，定值为3．
【分析】（1）先证明，求出的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据两点间的距离公式，求出，设运动时间为，则，，，，过点Q作轴于点G，易证，得到，进而得到，然后根据，求得，利用二次函数的性质，即可得到答案；（3）设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，联立直线和抛物线解析式，得到，根据二元一次方程根和系数的关系，得到，，再跟别将点E和点F代入直线和直线中，求得、，再进行代入求值，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，，，
，，，（1分）
，，，
，，，，，（2分）
点C在y轴的正半轴上，，即，
抛物线经过A、B、C三点设抛物线的解析式，
将代入，解得，，即；（3分）

（2）解：、，，
设运动时间为，由题意可知，，，（4分）
，，
如图，过点Q作轴于点G，，
，，，（5分）
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，，
当时，面积最大，此时，；（7分）
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，，，（8分）
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得:，（9分）
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3．（10分）
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根和系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26．（12分）（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题背景】
如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点．菱形与菱形全等，．点和点分别是与以及与的交点．当菱形绕点旋转时，且点始终在线段上，两个菱形重叠部分的面积总等于一个菱形面积的．
【类比探究】已知菱形的对角线相交于点O，．等边边、分别与菱形的边、相交于点M、N．(1)如图1，若等边的顶点与点重合，求证：．
(2)数学兴趣小组对上面的问题进行了拓展探究，如图2，将图1中的沿方向平移至如图所示位置，若（为常数）请描述与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．(3)如图3，在（2）的条件下，延长交边于点，连接，若，且，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）过点P作交于点H，可得出是等边三角形，证全等即可；（2）过点P作分别交于点，证明得，再由可证即可求解；
（3）作于点，利用两角相等的三角形相似，证明，，利用相似三角形的性质得出，，设，利用所对的直角边等于斜边一半和勾股定理得出，证得为等边三角形，再利用等边三角形性质即可求解．
【详解】（1）解：过点P作交于点H，如图：

， 四边形是菱形，，（1分）
，是等边三角形，，（2分）
，，，
，.（3分）
（2）解：过点P作，分别交于点，如图：
， 四边形是菱形，为对角线，，（4分）
，，，，（5分）
，，（6分）
，，.（7分）
（3）解：作于点，如图所示：
由（2）可知，，，又，，（8分）
，，，，
，，，，，（9分）
，四边形是菱形，为对角线，，
为等边三角形，则，，，（10分）
，，，有，
，，，，，，
设，，，，，，（11分）
有，解得，，
，，，，为等边三角形，
为角平分线，，，．（12分）
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、所对的直角边等于斜边一半和勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造相似和全等，再利用上述性质定理即可求解．
x
…
0
1
2
y
…
5
0