河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了在数列中，若，则，下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
2．已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．下列求导错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．具有线性相关关系的变量的样本数据如下：
其回归直线方程为，则回归直线经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
5．在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
6．已知数列满足，其前项和为，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．设点到直线的距离为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（ ）
A．150B．151C．170D．171
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归直线必过点
B．样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱
C．若变量与之间的相关系数，则与正相关
D．若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－1
10．已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若和都为递增数列，则
11．已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（ ）
A．B．
C．满足条件的直线有2条D．满足条件的直线只有1条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列的前项和为，且，则_______．
13．已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）
14．ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为_______．（参考公式及数据见18题）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（I）若函数有三个零点1，2，4，求；
（II）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值．
16．（15分）
某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（I）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）
（II）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．
参考数据：．
参考公式：相关系数；
回归直线方程中，．
17．（15分）
已知数列的前项和为，且为等差数列．
（I）证明：为等差数列；
（II）若，数列满足，且，求数列的前项和．
18．（17分）
“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计．
（I）根据已知条件，作出列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对“村”的了解情况与性别有关；
（II）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
19．（17分）
记数列的前项和为，已知，且．
（I）令，求数列的通项公式；
（II）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
2023－2024学年（下）南阳六校高二年级期中考试
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案B
命题意图本题考查导数的几何意义．
解析因为，所以．
2．答案C
命题意图本题考查数列的递推关系．
解析，故数列的周期为3，因为，所以可以为2024．
3．答案D
命题意图本题考查导数的计算．
解析对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
4．答案A
命题意图本题考查回归直线的性质．
解析由表中的数据知正相关．所以，又，，即点在回归直线上，且在第二象限，
所以回归直线经过第一、二、三象限．
5．答案B
命题意图本题考查数列的递推关系．
解析因为，所以，所以，所以是常数列，所以，又，所以．
6．答案C
命题意图 本题考查等比数列求和．
解析因为，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，又因为11，所以，所以，即，所以．由题意可得，解得．
7．答案A
命题意图本题考查导数的几何意义的应用．
解析设直线与曲线相切于点，则可得，得，所以点到直线的距离最小，且最小值为，又因为，所以曲线上到直线的距离为的点有两个，其中一个为，故选A．
8．答案
命题意图本题考查数列的概念和综合应用．
解析由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，由于，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案
命题意图本题考查回归分析的相关概念．
解析对于A，回归直线必过点，故A正确；
对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；
对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；
对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．
10．答案BC
命题意图本题考查等差数列的相关计算．
解析对于A，，则，故A错误；对于B，，故B正确；
对于C，，所以，又因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为为递增数列，所以其公差，因为为递增数列，所以，所以对任意的，但的正负不确定，故D错误．
11．答案AC
命题意图本题考查导数的几何意义．
解析由题可知直线与曲线相切于点，又，所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，即，直线与曲线相切于点，可得在点处的切线方程为，即．因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即，可得，解得，故A正确，B错误；把代入，得，数形结合可得的值有两个，故C正确，D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案32
命题意图本题考查等比数列的基本运算．
解析设等比数列的公比为，则，解得，由，得，解得，所以．
13．答案0.3
命题意图本题考查非线性回归的应用．
解析由题意知，解得，所以，由，得，所以，则．
14．答案170
命题意图本题考查独立性检验的应用．
解析由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：
，解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图本题考查导数的计算和几何意义．
解析（I）由题意知，
所以．
（II），题意知即解得
16．命题意图本题考查线性回归分析的应用．
解析（I）由题可知，
，
，
变量和的线性相关程度很强．
（II），
．
关于的回归直线方程为．（12分）
当时，，
研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．
17．命题意图本题考查等差数列以及裂项法求和．
解析（I）因为为等差数列，设其公差为，所以，
又因为，所以．
当时，，
又因为适合上式，所以．
所以，所以为等差数列．
（II）因为，由（I）知，得，所以．
所以，
当时，，
因为满足上式，所以．
所以．
18．命题意图本题考查独立性检验的应用和超几何分布的有关计算．
解析（I）因为，
所以对“村BA”了解的女生人数为，了解“村BA”的学生人数为，
结合男生和女生各80名，作出列联表为：
，
因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关．
（II）由（I）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，
其中男生人数为，女生人数为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，
．
故随机变量的分布列如下：
则．
19．命题意图 本题考查数列的综合问题．
解析（I）令，则①，
令，则②，
②－①，得，
又因为，所以可得，
代入①式，得，所以．
（II），其中，
，所以．
由，可得恒成立．
设，则，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为．－2
－4
－6
－8
17.4
13
8.2
5
1
2
3
4
5
35
40
50
55
70
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
总计
个人用户
公司用户
总计
了解
不了解
总计
男生
30
50
80
女生
5
75
80
总计
35
125
160
0
1
2
3
4