2024年河南省信阳市息县中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
注意事项：
本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟．
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数在数轴上的位置距离原点最近的是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答．
【详解】解：∵在数轴上的位置距离原点最近，
∴绝对值最小的即为距离原点最近，
∵，
∴的位置距离原点最近，
故选：A
2. 为有效保护视力，提升身体素质，我们需要增加体育锻炼时间．下列体育锻炼常见实物所对应的立体图形中，三视图相同的是（ ）
A. 跳绳B. 秒表C. 乒乓球D. 羽毛球拍
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．跳绳的三视图不同，故A错误；
B．秒表的三视图不同，故B错误；
C．乒乓球的三视图相同，故C正确；
D．羽毛球拍的三视图不同，故D错误．
故选：C．
3. 据统计，年我国出生人口为万人，死亡人口为万人．出生人口少于死亡人口，影响我国人口总量比年减少万人．数据“208万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：208万，
故选：B．
4. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
直接根据同分母分式加法法则计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故选：D．
5. 如图，，以的顶点为圆心，直角边为半径画弧，与斜边交于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质，由得到，进而由得到，再利用邻补角互补即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．先求出，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故选C．
7. 若，关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴方程没有实数根．
故选C．
8. 某校春季研学活动安排在美丽的某湖风景名胜区，学校安排同学们从“水上大冲关”、“水枪大战”、“画舫游湖”、“龙舟竞渡”中随机选择一种活动参加．小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列出树状图，得出共有种结果，小红和她的好朋友小丽选择相同活动的结果有4种，即可作答．
【详解】解：把“水上大冲关”、“水枪大战”、“画舫游湖”、“龙舟竞渡”分别即为
∴列树状图如下：
共有种结果，小红和她的好朋友小丽选择相同活动的结果有4种
∴
∴小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为
故选：A
9. 二次函数的图象与直线有交点，若，则的坐标一定不是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了次函数的图象和性质．设直线的解析式为，求得，根据四个选项分别求得的值，再逐一判断即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
联立得，即，
∵二次函数的图象与直线有交点，
∴，
解得，
当的坐标是时，，
∴，
则，故选项A不符合题意；
当的坐标是时，，
∴，
则，故选项B不符合题意；
当的坐标是时，直线就是y轴，与二次函数的图象一定有交点，故选项C不符合题意；
当的坐标是时，，
∴，
则，故选项D符合题意；
故选：D．
10. 如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，直角顶点，将以点为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，点的坐标规律，根据题意知，每隔8秒点B回到原来的位置，由此得到规律，求解即可
【详解】解：旋转一周为360°，每秒旋转45°，
（一个周期）.
，
如图所示，为以点为旋转中心，顺时针旋转5次后的图形.
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，
由旋转的性质得，
，
可得所求点坐标为，
故选：B
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，设牛有只，该牧民每天需准备______千克草．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列方程，关键是根据等量关系列方程．
根据设牛有只，则羊有，再根据每只牛每天的食草量是羊的4倍，每只羊每天需要4千克草，列方程即可解答．
【详解】解：设牛有只，则羊有只，
∵每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，
∴牧民每天需准备：千克草．
故答案为：．
12. 不等式组的正整数解的和为______
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共解集，求出正整数解再求和即可．
【详解】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为，
所以，不等式组的正整数解为1，2，3，4，
故正整数解的和为，
故答案为：10．
13. 某园林公司培育3000棵银杏树用来出售，已知树干周长不小于才可出售，如图为随机抽取50棵银杏树测量后所得数据．请预估该公司这批银杏树达到出售标准的数量为______棵．
【答案】2520
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，用3000乘以样本中树干周长不小于所占的比例即可．
【详解】解：（棵）．
故答案为：2520．
14. 如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由的正切值求出，再根据勾股定理求出即可
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，为切点，
∴
在中，，
又
∴，
中，，，
∴
故答案为：
15. 如图，的直角边的中点为，，点在斜边上，且，若为直角三角形，则的值为______
【答案】1或
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，分和，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：为直角三角形可分两种情况讨论：
（1）如图1，，
图1
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，，由可得，，
图2
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：；
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：．
（2）计算：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算以及整式的四则运算：
（1）原式分别根据立方根，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简后，再进行加减运算即可得到答案；
（2）原式根据完全平方公式和单项式乘多项式法则将括号展开后再合并即可得到结果．
【详解】解：
；
（2）
．
17. 近些年很多家庭喜欢在家里种植几株草莓，既可以美化环境，也为生活增添了乐趣．小华家今年种植了甲、乙两个品种的草莓各10株，为了对两个品种的草莓进行比较并推荐给自己的好朋友，他将每株草莓的果实重量（克）做了如下记录并分析：
分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的______；______；______（填“”“”或“”）；
（2）综合上表的分析，你认为小华应选择哪个品种的草莓推荐给好友？理由是什么？
（3）通过预估，好朋友家的花园能够种植草莓一百株，根据上面信息，分别计算甲、乙两个品种可能收获果实多少克？
【答案】（1），， ；
（2）推荐甲品种，因为每株果实重量均匀．（答案不唯一，合理即可）
（3）甲：克，乙：克．
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，中位数以及方差，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据算术平均数，中位数以及方差的定义即可求解；
（2）根据方差，说明甲种草莓的重量更稳定即可判断；
（3）用平均数乘以棵数即可求解．
【小问1详解】
解：乙种草莓的平均数，
把乙按从小到大顺序排列为：，处在第5个和第6个数是：，
∴乙种草莓的中位数，
，
，
∴，
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：∵，
∴甲种草莓的重量更稳定，
∴小华应选择甲种草莓推荐给好友．
【小问3详解】
解：甲种草莓可能收获果实重量为：
（克），
乙种草莓可能收获果实重量为：
（克）．
18. 如图，中，．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤画图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得，从而，可证，然后根据即可证明．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
连接，
是的垂直平分线，
．
．
又，
．
又∵，，
．
．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
19. 如图，点，点为反比例函数上两点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆．
（1）求的值；
（2）取的中点，连接，，试证明垂直平分．
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积：
（1）把点代入，求出的值即可；
（2）根据等腰三角形的性质可判断；
（3）由勾股定理求出的长，根据求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
可得，
解得；
【小问2详解】
证明：点，为等腰两腰的中点，
.
点为中点，
垂直平分.；
【小问3详解】
解：∵点，点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴
又
∴
又点，为的中点，
∴,
∴，即是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是的直径，
∴的半径长为，
20. 综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：
（1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和；
（2）用皮尺度量和的长度；
（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可．
【详解】如图，由题意得，，，
，，
，
，
，
，
即，
设，可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：两栋楼的高度为．
21. 某品牌体育用品店购进一批篮球共花费7500元，除了两个篮球作为展品不出售外，其他篮球每个加价50元后全部售出，获得9600元的销售款．
（1）求这款篮球的进价和售价．
（2）如果该商店准备再购进一批该种篮球用来出售（不再留展品），若要求获利不少于8000元，求最少需进该种篮球多少个．
【答案】（1）进价150元/个，售价200元/个.
（2）160
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用：
（1）设篮球进价元/个，则售价为元/个，根据“除了两个篮球作为展品不出售外，销售量相等”列出分式方程，求出方程的解，并检验即可；
（2）设进该种篮球个，根据“获利不少于8000元”列出一元一次不等式，求解即可
【小问1详解】
解：设篮球进价元/个，则售价为元/个，依题意得：
，
解得，（舍去），
则，
经检验，是原方程的解，
答：这款篮球进价为150元/个，售价200元/个；
【小问2详解】
解：设进该种篮球个，根据题意得，
，
解得，.
答：最少需进该种篮球160个
22. 安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线落到院中地面上点（可视为抛物线顶点）．若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，请根据题意，解决下列问题．
（1）建立合适的坐标系，求出雨水从顶点落到地面点的抛物线表达式；
（2）现计划在院中安放一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点，请按设计计算雨水池的底面中心到墙面的距离的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，求得，设抛物线解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）求出点与之间的距离即可解决问题．
【小问1详解】
解：以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，
，，，
∴
，.
设抛物线解析式为，
将点代入解析式可得，，
解得，
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：若想让雨滴正好落在点，则点需在所在的抛物线上，
，，则与的距离为，
可设，，
将代入解析式可得，
，
解得，
23. 类比和转化思想常常可以为我们的数学解题提供助力．下面题目是一次综合复习课上老师给出的问题，请你注意数学思想的使用，完成下列问题．
如图，边长为6的等边内有一点，．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若，过作的平行线交的两边为，，求的长；
（3）如图③，若，过作的平行线交的两边为，，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的垂直平分线，然后在中利用锐角三角函数的概念求解即可；
（2）先在中利用勾股定理求出，再在中求出，得出，然后利用求出，进而可求出的长；
（3）由与均为等边三角形，可证，在中求出，在中求出，得出，即可求出的长．
【小问1详解】
连接并延长，交于点，
与均为等腰三角形，
，．
为的垂直平分线．
即，．
如图，，
，
在中，．
为等边三角形，，
．
，．
【小问2详解】
如图，，，
在中，，
．
在中，
，，
，
．
与中，
，
，
．
【小问3详解】
如图，，
，，
与均等边三角形，
，
，
为的垂直平分线，
为等腰三角形，，
在中，，，
．
在中，，
，
．
又三角形为等边三角形，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三线合一，线段纸质平分线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．甲
120
130
140
150
100
160
130
110
150
110
乙
110
160
170
140
130
190
60
80
100
160
平均数
中位数
方差
甲
130
130
乙