江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷（Word版附答案）

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试卷满分:150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
在空间四边形中，化简（ ）
A． B． C． D．
展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ）
A．150B．180C．240D．300
某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．24种
定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：
，满足，则p可以是（ ）
A．26B．31C．32D．37
若函数，在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．
下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若，则的夹角是锐角
B．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，
D四点共面
C．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的
角等于
D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底
下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底
下的坐标为
如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点与点重合时，直线平面
B．当点移动时，点到平面的距离为定值
C．当点与点重合时，平面与平面夹
角的正弦值为
D．当点为线段中点时，平面截正方体
所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
若已知，则的值为 （用数字作答）．
如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有 种．（用数字作答）
在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
已知空间三点、、.
(1)若向量与平行，且，求的坐标；
(2)求以、为邻边的平行四边形的面积．
（15分）
(1)二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数；
(2)已知，求的值．
（15分）
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.
(1)由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；
(2)该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？
（17分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
（17分）
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．
江苏省扬州中学2023-2024学年第二学期期中试题答案
高二数学
一、单项选择题：
1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C
二、多项选择题：
9．ACD 10．BD 11．ACD
三、填空题：
13．21 14．20 15．
四、解答题：
15．
（1）解：由已知可得，
因为向量与平行，设，其中，
则，解得.
所以，或.
（2 ）解：，因为，则，
所以，以、为邻边的平行四边形的面积.
16．
（1）由题意得，解得，
的展开式通项公式为，
令，解得，故，
故其二项展开式中的系数为
（2）中，令得，，
令得①，
令得②，
①+②得，，解得，
故
17．
（1）当时，，
当，且时，
，
当时，符合上式，
故，（且）.
（2）依题意，这个汽车4S店在2023年的第个月的月利润
（且），
，
令，得：或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值为.
故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元.
18．
（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故,
又平面，平面,所以平面；
连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点，
M是的中点，在中，有，平面，平面,
所以平面，且平面，平面,,
所以平面平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设，，
则，又M是的中点，
故,，因为，
所以，解得，设，因点P为线段上一点，
则，即，
故，所以，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
即，设直线与平面所成角为，
则
当时，
设，，所以，
当时，所以，
当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19．
（1），则
所以，可得在处的切线斜率为
（2）（i），令，则所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；
（ii）下面证明：当时，成立，
令，则
令，则，
因此在上单调递增；所以
所以
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立
令且，可得，
即，
由题意，令且，可得，因为
所以，
由①当时，，所以令且，可得
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.