重庆市第八中学校2023-2024学年九年级下学期第4次数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年九年级下学期第4次数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．( )
A.B.2024C.D.
2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是( ).
A.B.C.D.
3．不一定相等的一组是( )
A.与B.与C.与D.与
4．如图，该几何体的主视图是( )
A.B.C.D.
5．对于反比例函数，在每个象限内y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为( )
A.B.C.D.
6．把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为( )
A.12B.14C.16D.18
7．将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是( )
A.B.
C.D.
8．如图，是的直径，点C、D是上的两点，连接，且，若，，则的长为( )
A.B.4C.D.
9．如图，在正方形内有一点F，连接，有，若的角平分线交于点E，若E为中点，，则的长为( )
A.B.6C.D.5
10．已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作.再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去.以下结论正确的个数为( )
①若x、y为方程的两根，则；
②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数；
③若，要使得成立，则n至少为4.
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
11．单项式的次数是______.
12．若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为______.
13．已知反比例函数，当时，x的取值范围是______.
14．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，0，1，2这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为a，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，则在第四象限的概率为______.
15．如图，AB是半圆O的直径，，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积是______.
16．在中，于点D，以为斜边作，与交于点E，使得，连接，，若，则的长为______.
17．如果关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为______.
18．若一个四位正整数m的各个数位数字之和是百位上的数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位正整数m为“和谐数”.将一个“和谐数”m百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则______；当“和谐数”m的百位上的数字是个位上的数字的2倍，千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除时，记，则的最大值为______.
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．在中，是的角平分线，作线段的垂直平分线，分别交、，于点E、O、F，连接、，证明四边形是菱形.
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、，于点E、O、F，连接、（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）
(2)证明：四边形是菱形.
证明：平分，
____________________
是线段的垂直平分线，
，
，
在与中，
，
，
__________________
四边形是菱形.（____________________）
21．2023年，我国航天事业收获丰硕成果.为激发学生的兴趣，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绒进行统计分析.数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D.）
八年级20名学生的成绩是：76，77，95，84，50，85，85，97，99，92，97，85，65，
82，68，85，78，84，98，84
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，89，83，88，80，89.
八、九年级抽取的学生成绩统计表
九年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)我校八、九年级共有3000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人.
22．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地.
(1)求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
(2)地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶.此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
23．如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，动点E从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒个单位长度，到达B点停止运动，过点E作，垂足为点F，点G、H分别是射线，上的两个动点，的长度等于点E运动的路程，，设点E的运动时间为，的长度为，BH的长度为.
(1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质：
(3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：__________.（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
24．如图，，，，为同一平面内的四个点，已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于点的西北方向米处，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的南偏东方向.（参考数据：，，，，，）
(1)求景点与景点之间的距离.（结果保留根号）
(2)小豪选择路线前往景点处，小兰选择路线前往景点与小豪汇合，两人在各景点处停留的时间忽略不计.己知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点.
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由.
26．在等腰中，，点是射线上的一点.
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，过点作交于点，点为边上的一点，且，过点作交直线于点，求证：；
(3)如图3，若，，点是边上的一点，且，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，当线段最短时求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：，
故选B.
2．答案：A
解析：在数轴上表示不等式的解集，
故选：A.
3．答案：D
解析：A.=，故选项A不符合题意；
B.，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D.
4．答案：B
解析：从正面看易得，该几何体的视图为B，
故选：B
5．答案：A
解析：∵每个象限内y都随x的增大而增大，
∴反比例函数图象分布在二四象限，
A.∵，∴符合题意；
B.∵，∴不符合题意；
C.∵，∴不符合题意；
D.∵在坐标轴上，不在二四象限，∴不符合题意；
故选A.
6．答案：C
解析：由已知图形可知：
第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有6个黑色圆点，，
第③个图案中有8个黑色圆点，，
……
以此类推，第n个图形黑色圆点个数为：，
因此第⑦个图案中黑色圆点的个数为：，
故选C.
7．答案：D
解析：根据题意可得：，
即：
故选：D.
8．答案：D
解析：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：D
9．答案：C
解析：设的长为，连接，过点E作于点H，过点F作于点G.如图所示，
∵四边形是正方形，
∴.
∵为的中点，
∴.
∵平分，
∴，
∵，
∴.
∴，，.
∴.
∴.
∵，.
∴.
∴.
∵，.
∴，
在中，，
∵
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得：，
∴.
故选C.
10．答案：B
解析：①x、y为方程的两根，
∴，，
∴
故说法错误；
②对于整数x、y，若为偶数，
则x、y同为偶数或同为奇数，
∴为偶数或奇数，
∴的结果可能为奇数或偶数，
∴得到的一定为偶数说法错误；
③若，则 ，
然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，
则
，
，
∵
∴要使得成立，则n至少为4，说法正确，
故选：B.
11．答案：5
解析：单项式的次数是，
故答案为：5
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：或
解析：当时，则有，即，
∵，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限，
∴当时，的取值范围是或；
故答案为：或.
14．答案：
解析：画树状图如图：

共有个等可能的结果，则在第四象限的结果有个，
∴在第四象限的概率为，
故答案为：.
15．答案：
解析：连接, 过作于，
由旋转的性质得到：，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积 ，
∴阴影的面积的面积扇形的面积，
故答案为： .
16．答案：
解析：连接，
∵于点D，
∴，即点D为的中点，
∵以为斜边作，
∴，
∴
∴，
设，则，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴，
∴
∴，
在中，
故答案为：
17．答案：12
解析：解不等式组，得：，
不等式组至少有两个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，且
∴
分式方程解为正整数，且，
符合条件的所有整数的值为5，7，
符合条件的所有整数的和为.
故答案为：12.
18．答案：270；
解析：，
设“和谐数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d，
∴，
由“和谐数”定义可得，
∴，
∵百位上的数字是个位上的数字的2倍，
∴，
∴，即
∵千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除，
∴设，
∴，即，
∴
∴、取最大值时有最大值
∵，，，，
∴，，
∴，
∵
∴最大值为，此时，满足
∴当、时，有最大值，最大值为，
故答案为：270，.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）
；
（2）
.
20．答案：(1)见解析
(2)，，，四条边相等的四边形是菱形
解析：（1）作图如下：
（2）证明：平分，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是菱形.（四条边相等的四边形是菱形）
21．答案：(1)；；
(2)九年级的成绩更好，理由见解析
(3)1050人
解析：（1）由题意得，，
∴；
把九年级学生成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为88，89，
∴九年级的中位数，
∵八年级成绩中，成绩为85的出现了四次，出现的次数最多，
∴八年级的众数，
故答案为：；；；
（2）九年级的成绩更好，理由如下：
从平均成绩看，两个年级的平均成绩相同，但是九年级的中位数和众数都比八年级的大，
∴九年级的成绩更好；
（3）人，
∴估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1050人.
22．答案：(1)小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
(2)小唐的行驶速度至少提高千米小时.
解析：（1）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
（2）设小唐的行驶速度提高千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：小唐的行驶速度至少提高千米小时.
23．答案：(1)，
(2)作图见解析，当时，有最大值为8（答案不唯一）；
(3)或
解析：（1）∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
，
当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当时，
过D作于点G，

∵点D是的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
根据题意，得，
∵，，，
∴，
∴
（2）画图如下：
根据图象，知：当时，有最大值为8（答案不唯一）；
（3）令，可得：（舍去负值），或
根据图象知：当或时，.
24．答案：(1)
(2)小豪先到景点
解析：（1）如图，
过点作交延长线于点，
在中，，，
，
在中，，
，
答：景点与的距离为米；
（2）如图，
过点作交延长线于点，
在中，，
，，
又在中，，，
，
，
故小豪总路程，
米，
又，
故小兰总路程米，
，
答：小豪先到景点.
25．答案：(1)
(2)取得最大值2，此时
(3)存在，或
解析：（1）∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，故点D作轴于点Q，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
设，
则，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，取得最大值2，此时；
（3）∵平移后的抛物线顶点为，
∴平移后解析式为.
当时，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
连接，并延长交直线于点K，
①当在的左侧时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点，点代入，得，
∴，
∴直线的解析式为：，
解得，（舍去），
∴.
②当在的右侧时
∵，，
∴
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴，
用待定系数法可求出.
解得，（舍去），
∴.
综上可知，R的坐标为或.
26．答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）过点作，交于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）过点作，交于点，
∵，，，
∴是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
（3）过点，作，交于点，在射线上截取，连接、、，过点作，交直线于点，
∵，，，，
∴、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性质可得，，
∴当取最小值时，取得最小值，
∵当点与点重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：.
年级
平均数
中位数
众数
八年级
c
九年级
b
96