2023-2024学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.分式22−x可变形为( )
A. −2x−2B. −22+xC. 2x−2D. 22+x
3.要把分式2xyx+y的值扩大为原来的3倍，下面哪种方法是可行的( )
A. x、y的值都加上3B. x、y的值都扩大为原来的3倍
C. x的值不变、y的值扩大为原来的3倍D. x的值扩大为原来的3倍、y的值不变
4.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长( )
A. 随着点E的位置变化而变化
B. 保持不变，长为 102
C. 保持不变，长为 10
D. 保持不变，长为2 10
5.如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB、BC分别交于点M、N(不与端点重合)，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为m，△BMN的周长为n，则下列说法正确的是( )
A. m发生变化，n存在最大值
B. m发生变化，n存在最小值
C. m不发生变化，n存在最大值
D. m不发生变化，n存在最小值
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 3，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为( )
A. 12 3B. 3C. 32 3D. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若分式xx+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
8.分式1m、2mn的最简公分母是______．
9.不改变分式的值，把分式1x+12y的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为______．
10.关于x的方程5+mx−2+1=1x−2有增根x=2，则m的值是______．
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是______(只填一个条件)．
12.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD= ______°.
13.若1a+1b=3，则分式2a+2b−5ab−a−b的值为______．
14.如图，菱形ABCD的边长为13cm，正方形AECF的边长为5 2cm，则菱形ABCD的面积为______cm2．
15.如图，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处.若折痕FG的长为41cm，则CE= ______cm．
16.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
(1)2x+1−x−2x2−1÷x2−2xx2−2x+1．
(2)先化简(x+3−7x−3)÷2x2−8xx−3，再从0≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．
18.(本小题6分)
(1)解分式方程：2x−1+21−x=1；
(2)若关于x分式方程mx−1+21−x=1的解为正数，则m取值范围______．
19.(本小题6分)
小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
20.(本小题5分)
如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是四边形ABCD外一点，且PA=PD，PB=PC，∠APB=∠DPC．
(1)求证：∠ABC=∠DCB；
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
21.(本小题5分)
请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”.例如：x−1x+1，x2x−1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，2x+1x2−1.例如：假分式可以化为整式与真分式和的形式，例如：x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1．
(1)将分式2x+1x−1化为整式与真分式和的形式，并求出当x取哪些整数值时，分式2x+1x−1的值也是整数？
(2)将假分式m2+3m+1化成整式和真分式的和的形式．
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．
求证：DE=AF．
(1)请把证法1补充完整；
(2)试用不同的方法证明DE=AF．
23.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°.用直尺和圆规作图：(不写作法，保留作图痕迹.)

(1)如图①，若点D在边AB上，求作平行四边形CEDF，使得点E、F分别在AC、BC上；
(2)如图②，求作正方形ADFE，使得点D、E、F分别在AB、AC、BC上．
24.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交直线AB于点F．
(1)求证：EF=DE；
(2)探究：当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，∠AFE的度数是多少？直接写出结果______．
25.(本小题8分)
数学课上老师让学生们折矩形纸片.由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同.我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决
(1)问题1，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；

拓展研究
(2)在(1)的条件下，若AB=3cm，BC=4cm.直接写出线段EF的长为______cm．
综合探究：
(3)如图2，ABCD是一张矩形纸片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M(不与A和B点重合)，在边CD上取一点N(不与C和D点重合)，将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP，请你确定△MNP面积的最大值为______．
26.(本小题11分)
类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题：
从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形.张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究.他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究．
(1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题.请你完成证明．
如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．

(2)小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题.他们先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规图2中画出反例.(保留作图痕迹，不写作法)
(3)数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑.聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果(要求有必要的图形和文字说明)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：22−x=2−(x−2)=−2x−2，
故选：A．
依据分式的性质进行计算即可．
本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查分式的基本性质，能够正确利用分式的性质变形是解题的关键．根据分式的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【解答】
解：A．x、y的值都加上3，分式2xyx+y的值不会扩大为原来的3倍 ，不符合题意；
B.x、y的值都扩大为原来的3倍，则2×3x×3y 3x+3y=3×2xyx+y，所以分式2xyx+y的值扩大为原来的3倍，符合题意；
C.x的值不变、y的值扩大为原来的3倍，分式2xyx+y的值不会扩大为原来的3倍 ，不符合题意；
D.x的值扩大为原来的3倍、y的值不变，分式2xyx+y的值不会扩大为原来的3倍 ，不符合题意．
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：连接AP，
∵矩形ABCD中，AB=DC=2，P是CD边上的中点，
∴DP=1，
∴AP= 32+12= 10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=12AP= 102．
故选：B．
连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=12AP，问题得解．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠BAO=∠CBO=45°，AC⊥BD．
∵∠MOA+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△CON中，
∠OAB=∠OBNOA=OB∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON(ASA)
∴OM=ON，AM=BN，S△AOM=S△BON，
∴两个正方形重叠部分形成图形的面积=S△BOM+S△BON=S△AOB，
∴m=14S正方形ABCD=9，
∵△BMN的周长为n，
∴n=BM+BN+MN=AM+BM+MN=6+MN，
∴当MN有最小值时，n有最小值，
∵OM=ON，∠MON=90°，
∴MN= 2OM，
∴当OM⊥AB时，OM有最小值为3，
∴n的最小值为6+3 2，
因为点M不与点A，B重合，所以OM不存在最大值，所以MN不存在最大值，所以n不存在最大值，
故选：D．
由“ASA”可证△AOM≌△BON，可得OM=ON，AM=BN，S△AOM=S△CON，可得m=14S正方形ABCD=9，由n=BM+BN+MN=AM+BM+MN=6+MN，可得当MN有最小值时，n有最小值，即可求n的值．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明△AOM≌△BON是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2 3，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2 3，
∴AB=4 3，
∵AE=AC=2 3，
∴BE=AB−AE=2 3，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2 3，
∴EF=12BE= 3，
故线段CQ长度最小值是 3，
故选：B．
在AB上取一点E，使AE=AC=2 3，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
7.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意可知：x+1≠0
∴x≠−1
故答案为：x≠−1
根据分式有意义的条件即可求出x的范围．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
8.【答案】mn
【解析】解：分式1m、2mn的最简公分母是mn．
故答案为：mn．
根据最简公分母的概念解答即可．
本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
9.【答案】22x+y
【解析】解：1x+12y=1×2(x+12y)×2=22x+y．
故答案为：22x+y．
根据分式的基本性质分式的分子和分母都乘2即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键．
10.【答案】−4
【解析】解：去分母，得：5+m+(x−2)=1，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程，可得：m=−4．
故答案为：−4．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−2=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11.【答案】∠BAD=90°或AC=BD
【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角(2)对角线相等．
即∠BAD=90°或AC=BD．
故答案为：∠BAD=90°或AC=BD．
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
12.【答案】85
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转95°，
∴∠ABE=95°，AB=BE，∠CAB=∠E，
∵AB=BE，
∴∠E=∠BAE，
∴∠BAE+∠CAB=∠BAE+∠E=180°−∠ABE
=180°−95°
=85°，
故答案为：85．
利用旋转的性质得出旋转前后对应线段相等、对应角相等即可．
本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解决问题的关键．
13.【答案】−13
【解析】解：∵1a+1b=3，
∴a+bab=3，即a+b=3ab，
∴原式=2(a+b)−5ab−(a+b)
=6ab−5ab−3ab
=ab−3ab
=−13，
故答案为：−13．
由1a+1b=3可得a+b=3ab，再将所求分式的分子、分母化为含有(a+b)的代数式，进而整体代换求出结果即可．
本题考查分式的加减，掌握分式的加减法是解决问题的关键．
14.【答案】120
【解析】解：如图，
∵正方形AECF的边长为5 2cm，
∴AC=EF=10cm，AO=5cm，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BO=DO，
∴BO= AB2−AO2=12cm
∴BD=2BO=24cm
∴菱形ABCD的面积=12AC·BD=120cm2．
故答案为：120
由正方形的性质可求AC的长，由勾股定理可求BO的值，可求BD的值，即可求菱形ABCD的面积．
本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠C=90°，AD=CD，
作FP⊥CD于P，连接DE，
则四边形AFPD是矩形，
∴∠DCE=∠FPG=90°，
由翻折知，GF⊥DE，
∴∠PFG=∠CDE，
∵AD=CD，
∴△FPG≌△DCE(ASA)，
∴DE=FP=41，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CE= 412−402=9(cm)，
故答案为：9．
利用ASA证明△FPG≌△DCE，得DE=FP=41，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=4，AD//BC，∠BAH=∠CDH=90°，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH=CE=DH=BE=AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，∠AHB=∠ABH=12×90°=45°，∠DHC=∠DCH=12×90°=45°，
∴BH//DE，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴PH//ED，
∴点P在BH上，
∵∠AHB=∠DHC=45°，
∴∠BHC=180°−45°−45°=90°，
∴BH⊥CH，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，CH= CD2+DH2=2 2
∴PC的最小值为2 2，
故答案为：2 2．
取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形DEBH是平行四边形，可得BH/​/DE，由三角形中位线定理可得PH//ED，可得点P在BH上，当CP⊥BH时，PC有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2x+1−x−2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x(x−2)
=2x+1−x−1x(x+1)
=2x−x+1x(x+1)
=x+1x(x+1)
=1x；
(2)原式=x2−9−7x−3⋅x−32x(x−4)
=(x+4)(x−4)x−3⋅x−32x(x−4)
=x+42x；
当x=0，x=3，x=4时，原式无意义，
把x=1代入得：
原式=1+42×1
=52．
【解析】(1)先算除法，再算减法；
(2)通分先算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质．
18.【答案】m>1且m≠2
【解析】解：(1)原方程去分母得：2−2=x−1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
则x=1是分式方程的解，
故原方程无解；
(2)原方程去分母得：m−2=x−1，
解得：x=m−1，
∵原方程的解为正数，
∴m−1>0且m−1−1≠0，
解得：m>1且m≠2，
故答案为：m>1且m≠2．
(1)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
(2)解含参数的分式方程，然后根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．
本题考查解分式方程及一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：设小明跑步的平均速度为x m/min，则小明骑车的平均速度为1.5x m/min，
根据题意得：1650x−16501.5x=5.5，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：小明跑步的平均速度为100m/min．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设小明跑步的平均速度为x m/min，则小明骑车的平均速度为1.5x m/min，由题意：图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，列出分式方程，解方程即可．
20.【答案】(1)证明：在△ABP和△DCP中，
PA=PD∠APB=∠DPCPB=PC
∴△ABP≌△DCP(SAS)．
∴∠ABP=∠DCP．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABP+∠PBC=∠DCP+∠PCB．
即∠ABC=∠DCB；
(2)证明：∵△ABP≌△DCP，
∴AB=CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC．
∴∠ABC+∠DCB=180°．
∵∠ABC=∠DCB，
∴2∠ABC=180°.即∠ABC=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】(1)由全等三角形的判定定理SAS推知△ABP≌△DCP，根据该全等三角形的对应角相等、等腰三角形的性质推知∠ABC=∠DCB；
(2)由“有一内角是直角的平行四边形为矩形”证得结论．
此题主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握有一内角是直角的平行四边形为矩形．
21.【答案】(1)原式=2x−2+3x−1
=2(x−1)x−1+3x−1
2+3x−1．
当x=0、2、−2、4时，原分式的值也是整数．
(2)原式=m2−1+4m+1
=(m+1)(m−1)m+1+4m+1
=m−1+4m+1．
【解析】(1)变形分子，先逆用同分母分式的加减法法则把分式化为真分式的形式，再求x、分式的值为整数．
(2)变形分子，再逆用同分母分式加减法法则得结论．
本题考查了分式，掌握分式的加减法法则是解决本题的关键．
22.【答案】12BC 12BC
【解析】解：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵AF是△ABC的中线，∠BAC=90°，
∴AF=12BC，
∴DE=AF；
故答案为：12BC；12BC．
(2)连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF/​/AC，EF/​/AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴DE=AF．
(1)根据三角形中位线定理得到DE=12BC，根据直角三角形的性质得到AF=12BC，等量代换证明结论；
(2)连接DF、EF，根据三角形中位线定理得到DF/​/AC，EF/​/AB，证明四边形ADFE是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
23.【答案】解：(1)平行四边形CEDF即为所求；

(2)正方形ADFE即为所求．

【解析】(1)根据过直线外一点作平行线的作法，过点D作BC的平行线交AC于为E，得到DE/​/CF，然后以C为顶点，在CB上截取线段CF，使CF=DE，连接DF，即可得到平行四边形CEDF；
(2)根据角平分线的作法，作出∠A的角平分线，交BC于点F，连接AF，作线段AF的垂直平分线，分别与AB、AC交于点D、E，根据垂直平分线的性质，得到AF⊥DE，又因为∠A=90°，即可证明四边形ADFE是正方形．
本题考查了复杂作图——过直线外一点作平行线、角平分线、垂直平分线，平行四边形的额判定，正方形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
24.【答案】120°或30°
【解析】(1)证明：过点E作EH⊥AC，交AB的延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=∠EAB=45°，
∵EH⊥AC，
∴∠H=45°，
∴△EAH为等腰直角三角形，
∴AE=EH，
∵EF⊥DE，
∴∠DEA+∠AEF=90°，
∵∠HEF+∠AEF=90°，
∴∠DEA=∠HEF，
在△ADE和△HFE中，
∠DAE=∠FHE=45°AE=HE∠DEA=∠FEH，
∴△ADE≌△HFE(ASA)，
∴DE=EF；
解：(2)当线段DE与CD边的夹角为30°时，即∠CDE=30°，
∴∠ADE=60°，
∵四边形AFED的内角和为360°，
∴∠AFE=360°−∠DAF−∠ADE−∠AEF=360°−90°−60°−90°=120°；
当线段DE与AD边的夹角为30°时，即∠ADE=30°，
此时点F在BA的延长线上，如图，设EF与AB交于点G，
∵∠DEG=90°，∠ADE=30°，
∴∠DGE=60°=∠AGF，
又∵∠FAG=90°，
∴∠AFE=30°．
综上，∠AFE的度数是120°或30°．
故答案为：120°或30°．
(1)过点E作EH⊥AC，交AB的延长线于点H，易得△EAH为等腰直角三角形，则AE=EH，∠DAE=∠FHE=45°，再根据同角的余角相等可得∠DEA=∠HEF，进而利用ASA证明△ADE≌△HFE，以此可得证；
(2)分线段DE与CD边的夹角为30°和线段DE与AD边的夹角为30°，结合图形即可求解．
本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．
25.【答案】154 1.3
【解析】(1)证明：由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE，
∵AD/​/BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形；
(2)解：连接BD，
在Rt△BCD中，BD= BC2+CD2= 42+32=5，
设BE=BF=x，则AE=4−x，
∵AB2+AE2=BE2，
∴32+(4−x)2=x2，
∴x=258，
∴BF=258，
∵四边形BFDE是菱形的面积=12EF⋅BD=BF⋅DC，
∴12EF×5=258×3，
解得：EF=154cm；
(3)解：如图3，当点B与点D重合时，△MNP的面积最大，作MH⊥BN于H，则MH=AB=1，
由题意得：MP=MQ，设MP=MQ=k，则AM=5−k；
由勾股定理得：(5−k)2+12=k2，
解得：k=2.6；由(1)知：
NP=MP=2.6，MH=1，
∴S△MNK=12⋅NP⋅MH=1.3，
∴△MNP面积的最大值为1.3，
故答案为：1.3．
(1)证得DE=DF，得四边形BFDE是平行四边形，得四边形BFDE是菱形；
(2)连接BD，得BD=5cm，利用四边形BFDE是菱形的面积=12EF⋅BD=BF⋅DC，易得EF的长；
(3)如图3，当点B与点D重合时，△MNP的面积最大，作MH⊥BN于H，则MH=AB=1，由题意得：MP=MQ，设MP=MQ=k，则AM=5−k；根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理，勾股定理是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD//BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)Ⅰ.作出线段BD的中点O，
Ⅱ.连接AO并延长至点E，使OE=OA，
Ⅲ.以点D为圆心，ED为半径画弧交AE的延长线于点C，连接AD，BC．
如图，

四边形ABCD即为所求．理由：
∵OA=OE，OB=OD，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，AB//DE．
由作法可知：DE=DC，
∴AB=CD．
∴四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC平分对角线BD，但四边形ABCD不是平行四边形．
(3)分两种情况：①已知∠ABC=∠ADC，且BO=DO，
∖
四边形ABCD满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，但它不是平行四边形．
②已知∠ABC=∠ADC，且AO=CO，
反证法：假设四边形ABCD不是平行四边形，则BO≠DO
故可以在射线BD上取和D不重合的点D′，使得D′O=BO，如图，

∵AO=CO，D′O=BO，
∴四边形ABCD′是平行四边形，
∴∠ABC=∠AD′C，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠AD′C，
∴D和D′重合，
这与点D与点D′不重合矛盾，
∴假设不成立，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)利用四边形的内角和定理和平行四边形的定义解答即可；
(2)利用线段垂直平分线的作法找到BD的中点，连接AO并延长至点E，使OE=OA，得到平行四边形ABED，再利用同圆的半径相等的性质得到点C，则四边形可得；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况推论解答：①已知∠ABC=∠ADC，且BO=DO，画出符合条件的反例即可；②已知∠ABC=∠ADC，且AO=CO，利用反证法解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的判定，基本作图，反证法，熟练掌握平行四边形的性质与基本作图的方法是解题的关键．证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= ______．
∵AF是△ABC的中线，∠BAC=90°，
∴AF= ______，
∴DE=AF．