2024舟山中学高二下学期4月月考试题数学含答案

这是一份2024舟山中学高二下学期4月月考试题数学含答案，共9页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ）
A．10B．-10C．-80D．80
2．已知为等差数列，为其前n项和.若 ，公差，则m的值为（ ）
A．4B．3C．6D．5
3．已知，分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项B．项C．项D．项
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（ ）
A． B． C． D．
7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027B．0.5C．0.8414D．0.9773
8．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共3题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全不选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（ ）
A．
B．第20行中，第11个数最大
C．记第行的第个数为，则
D．第34行中，第15个数与第16个数的比为
10．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．在处的切线斜率是 D．过点的切线方程是
11．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
（附：，）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分）
12．有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
13．数列满足．前项和为，则 ．
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
16．（15分）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求的值；
②若第项是有理项，求的取值集合；
③求系数最大的项．
17．（15分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若，则，
，.
18．（17分）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
(1)求样本（，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
19．（17分）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图6所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数，.
(1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，）
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
参考答案：
一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
选择题（本大题共3题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全不选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解（1）设第次构造后得的数列为，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为，，，
所以，
即与满足的关系式为.
（2）由，可得，
且，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）得，
所以
16．解（1）令得，
再令得，
所以.
（2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以，展开式共有9项，所以.
②第项为，
若第项为有理项，则为整数，则，
所以，第项为有理项，所以的取值集合为.
③因为第项的系数为，
所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，
整理得，解得,
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
17．解（1）由频率分布直方图可知，
质量超过515克的产品的频率为，
质量超过515克的产品数量为（件）.
.
（2）由题意可得，
则，
则该批产品质量指标值的概率：
.
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过515克的概率为.
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布.
故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且,
,
，
，，
的分布列为
Y的均值为或者
18．解（1）由，，，
得相关系数.
（2）（ⅰ）依题意，，又，
则，当时，把换成，则，
两式相减，得，即，
又，于是对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以；
（ⅱ）由定义知，，
而，
显然，
于是，
两式相减得
，
因此，
当足够大时，，，则，可认为．
所以该植物寿命期望的值是10.
19．解（1）解： 因为，则，
，曲线在处的切线为，且，
，曲线在处的切线为，且，
故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为.
（2）将整理得到：，
令，，
因为，令，即，得或，
令，即，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以的极小值为，
因此有且仅有一个零点，所以有且仅有一个极小值点，即，
所以有，
方法一：由（1）有，则.
方法二：.
，
所以，能取到的最大整数值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
A
D
B
题号
9
10
11
答案
BCD
BC
AD
Y
0
1
2
P