贵州省贵阳市花溪区高坡民族中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列数组是勾股数的是（ ）
A. 1，B. 3，4，5C. 6，8，14D. 7，23，26
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．
【详解】解：A．1，，不是整数，此数组不是勾股数，不符合题意；
B．，此数组是勾股数，符合题意；
C．，此数组不是勾股数，不符合题意；
D．，此数组不是勾股数，不符合题意．
故选：B
2. 式子中的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的性质 即可解得．
【详解】解：由得：
，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知是解题的关键．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意;
B. 与是同类二次根式，此选项符合题意；
C. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
D. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
4. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案．
【详解】解：∵，即：，
∴的值在4和5之间，
故选C．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确得出与无理数接近的两个连续的整数是解决此类型题目的关键，“无限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5. 若，则实数在数轴上的对应点一定在（ ）
A. 原点左侧B. 原点右侧C. 原点或原点左侧D. 原点或原点右侧
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式、算术平方根和绝对值的意义可知m≤0，从而可判断出实数a在数轴上的对应点位置．
【详解】∵
∴m≤0，
∴m原点或原点左侧．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、算术平方根的意义和绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值的意义求出a≤0是解答本题的关键．
6. 已知，，，，则斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作与点，由勾股定理求出的长，再由三角形面积，即可求出斜边上的高．
【详解】解：如图，过点作与点，

，，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及勾股定理，熟练掌握勾股定理求得是解本题的关键．
7. 将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A. 0≤h≤13B. 12≤h≤13C. 11≤h≤12D. 13≤h≤25
【答案】B
【解析】
【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12，
即12⩽h⩽13，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
8. 一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口后，两船相距（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为B、C，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出然后运用勾股定理求的长，即可完成解答．
【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为B、C，则，，，

∴，
即后，两船相距．
故选：D．
9. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5,
AC2=22+42=20,
AD2=12+32=10,
BC2=52=25,
CD2=12+32=10,
BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
10. 如图是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D表示的是公路上的四辆车．若OC＝8m，AC＝17m，AB＝5m，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为( )
A. 5mB. 4mC. 3mD. 2m
【答案】D
【解析】
【分析】在RT△AOC中根据勾股定理求出OA的长，进而可得OB，在RT△BOD中根据勾股定理可得OD的长，可得答案．
【详解】在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，
∴OA= = = 15（m），
∴OB=OA+AB=20m，
在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，
OD= = 10（m），
∴CD=OD-OC=2m，
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理内容并加以运用是根本也是关键．
11. 如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．
【详解】根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=6
∴CF=4
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2
即EF2=（8－EF）2+42
解得EF=5cm
故选D
【点睛】本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
12. 已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算出及的值，从而估算出与的值，进而求出，的值，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
的整数部分是：10，
，
，
，
的小数部分是，
，
，
故选：B
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____，它是___命题(填“真”或“假”)．
【答案】 ①. 等腰三角形是等边三角形 ②. 假
【解析】
【分析】本题考查的是命题与定理，涉及到互逆命题及等腰三角形的判定，解题关键是正确写出原命题的逆命题．根据等腰三角形的定义及互逆命题的关系进行判断即可．
【详解】解：命题：等边三角形是等腰三角形的逆命题为“等腰三角形是等边三角形”，该命题是假命题．
故答案为：等腰三角形是等边三角形，假
14. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，，的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，，
，，，




．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简与求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC= ．

【答案】1+
【解析】
【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得BD=AD=，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
【详解】详解：∵∠B+∠DAB=∠ADC，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=，
∵∠C=90°，
∴CD===1，
∴BC=+1．
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理，以及三角形外角的性质，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
16. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【解析】
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
三、解答题（本题共9小题，共98分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算：
（1）先化简二次根式和二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）原式先计算乘方和化简二次根式，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
18. 在中，，判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
19. 如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，按要求作图．
（1）在图1中画出一条长为的线段；
（2）在图2中画出一个以格点（小正方形的顶点）为顶点，三边长都为无理数的直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点即可求解；
（2）根据网格的特点即可求解
【小问1详解】
解：如图，，
线段即为所求
【小问2详解】
如图，三边长分别为，
且，
．
是符合题意的．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
20. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
【答案】尺
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，
解得：x=，
∴秋千的绳索长为尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
21. 如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长边，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图组成一个梯形的形式，上底和下底分别为a，b，高为a+b；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此把四个直角三角形组成一个正方形的形式．
【详解】(1)证明：如图
∴
∴
（2）如图所示：
【点睛】此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
22. 如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？
【答案】大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方
【解析】
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．
【详解】解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．
在直角中，根据勾股定理得：，
∴，
在直角中，根据勾股定理得：，
∴．
又∵C、D两村到E点的距离相等，
∴，
∴，
所以，
解得．
∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
23. 已知，，满足
（1）求，，的值．
（2）试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）能，周长是
【解析】
【分析】（1）根据绝对值以及算术平方根，完全平方式的非负性求得的值；
（2）根据三角形三边关系进行判断，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，，．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
所以能够成三角形，三角形的周长为．
【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质和运算，构成三角形的条件，无理数的估算，掌握绝对值以及算术平方根，完全平方式的非负性是解题的关键．
24. 如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A和点B所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接，利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点
如图1，此时，，，
，
；
如图2，此时，，，
，
；
如图3，此时，，，
，
，
，
壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少．
25. 如图①所示，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设．
（1）用含x的代数式表示的长： ；
（2）最小值： ；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图①在网格中（如图②所示）构图并求代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短：
（1）根据勾股定理分别表示出和，再相加即可；
（2）根据两点之间线段最短，可推出的最小值为线段的长，再构造直角三角形，利用勾股定理求出即可；
（3）在网格中构造出类似图一的两个直角三角形，再求出最小值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
∴的长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：连接，过点E作交的延长线于点F，
∵，
∴的最小值是的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：构造和，如图，
，设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∵，
∴的最小值为AC的长，
过点C作交的延长线于点F，
，
，
在中，，
∴代数式的最小值为．