江苏省徐州市丰县2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 三角形的两边之和大于第三边B. 玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”
C. 明年的冬至会下雪D. 从装满红球的袋子里摸出黄球
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；
C、明年的冬至会下雪，是随机事件，不符合题意；
D、从装满红球的袋子里摸出黄球，是不可能事件，不符合题意；
故选：A
2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．
3. 2023年我县约有1.6万名考生参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取1000名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A. 1000B. 被抽取的1000名考生
C. 被抽取的1000名考生的中考数学成绩D. 我县2023年所有考生的中考数学成绩
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，根据样本的定义解答即可，熟练掌握数学概念是解此题的关键．
【详解】解：在这个问题中，样本是指被抽取的1000名考生的中考数学成绩，
故选：C．
4. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：，
∵，
∴，
故选：B．
6. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断粗答案．
【详解】A：，，两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，符合题意；
B：，，一组对边平行，一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
C：，，属于两组邻边互相相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
D：，，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法的种类是关键．
7. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C. 试验次数很大时，f等于P
D. 当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了频率与概率．根据频率的稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
8. 将6张宽为1的小长方形如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的面积为（ ）
A. 32B. 16C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质，过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，由图形可知小长方形的长为3，是直角边为1的等腰直角三角形，求得，即可得出答案．熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
，
由图形可知：小长方形的长为3，是直角边为1的等腰直角三角形，
∴，与都是直角边为的等腰直角三角形，
∴，
∴
平行四边形的面积为：，
故选：A．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
10. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___．
【答案】0.3
【解析】
【分析】利用1减去第1、2组的频率即可得出第3组的频率．
【详解】解：1-0.2-0.5=0.3，
∴第3组的频率是0.3；
故答案为：0.3
【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义和各小组的频率之和为1是解题的关键．
11. 菱形中，对角线，，则菱形的边长为_______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质得到，，，从而得出，，最后根据勾股定理即可求出菱形的边长．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
中，，
∴菱形的边长为13，
故答案为：13．
12. 某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据频数分布直方图中即可求解．
【详解】解：依题意，组距为kg,
故答案为：5
【点睛】本题考查了频数直方图，求组距，理解频数直方图中组距相等是解题的关键．
13. 随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为_______（用含x的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式，及分式的运算，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍” 得数量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，甲路线的平均速度为，
∵甲路线的平均速度为乙路线的倍，
∴乙路线的平均速度为，
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件________，使四边形是矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查矩形判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形常见的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴根据对角线相等平行四边形是矩形，可以添加一个条件即.
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，点D、E、F是各边的中点，，垂足为H，若，则_______．
【答案】85
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，由三角形中位线定理和直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得，，，，得，，四边形是平行四边形，进而可证得，即可得，掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵D、E、F是各边的中点，，
∴，，，，
∴，，四边形是平行四边形，
则，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：85．
16. 如图，为正方形的对角线，的平分线交于E，若，则正方形的边长为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由正方形的性质得，，过点作于，可知，得，进而可知，求得，由角平分线的性质可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
∴，
过点作于，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴方形的边长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果；
（2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，先算括号里的再算乘除，把原式化简，把的值代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）由矩形的性质可得，再结合，即可证明结论；
（2）由矩形的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可求得．
【小问1详解】
证明：在矩形中，，则，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：在矩形中，，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
20. （1）转动如图1所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在红，黄、绿某一颜色区域（若指针落在交界线上，则重新转动）．
下列事件：①指针指向红色区域；②指针指向绿色区域；③指针指向黄色区域；④指针不指向黄色．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
（2）请你在图2中设计一个转盘，使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率：
（1）分别求出指针落在各色区域的概率，即可比较出可能性的大小．
（2）根据题意分成4绿1红1黄的六部分，即可．
【详解】解：∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为，
②指针指向绿色的概率为；
③指针指向黄色的概率为，
④指针不指向黄色的概率为，
则这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：；
故答案为：
（2）如图，即为所求．
21. 某学校近期开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，该学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）被抽样调查的学生人数是 ；
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中“合格”部分对应圆心角度数为 ；
（3）若该学校共有学生3600人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数；
（4）请根据以上信息，谈谈你的看法．
【答案】（1）85 （2）补全条形统计图见解析，72
（3）2700人 （4）建议该校开展“近视防控”知识主题班会课等相关活动（言之有理即可）
【解析】
【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）由“优秀”的有36人，占，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图，根据被抽样调查的学生 “合格”部分所占百分比乘以即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（4）根据统计图中数据给出建议即可．
【小问1详解】
解：被抽样调查的学生人数是：（人），
故答案为：80；
【小问2详解】
“良好”的人数：（人），
补全图形如下：
在扇形统计图中“合格”部分对应圆心角度数为，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
答：估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数为2700人．
【小问4详解】
建议该校开展“近视防控”知识主题班会课等相关活动（言之有理即可）．
22. 如图1，在平面直角坐标系内，三个项点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．如图2，以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到．
（1）在图2中画出，；
（2）若点D为边的中点，直接写出旋转后对应的点、、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）、、
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转：
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，然后连接各点即可得到，然后结合图形确定点的坐标；
（2）写出旋转后对应的点的坐标，即可．
【小问1详解】
解：如图，，即为所求；
【小问2详解】
解：根据题意得：旋转后对应的点、、的坐标分别为、、．
23. 阅读材料：
分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：
（1）分式（）的最大值是 ；
（2）求分式的最大值；
（3）若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
【答案】（1）9 （2）7
（3）4，6，8
【解析】
【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题．
（2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题
（3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为8，
∴的最大值为9，
即：分式（）的最大值是9，
故答案为：9；
【小问2详解】
由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为3，
∴的最大值为7，
即：分式的最大值是7；
【小问3详解】
由题意可知，，
∵分式（）的值为整数，且为整数，
∴的值为整数，，
∵，
∴的值为，1，3，
∴的值为4，6，8．
24. 我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且．
（1）小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程；
（2）如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．
（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论；
（2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
将绕点B顺时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
证明：在正方形中，，，
将绕点B逆时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
25. 如图，菱形中，，，点E、F分别在线段、上，连接、、、，与交于点H，．
（1）判断的形状为 三角形；
（2）随着点F在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边 （2）①不变化，理由见解析
②存在，
【解析】
【分析】对于（1），根据菱形的性质得，，再根据等边三角形的判定定理得出答案；
对于（2）①，在上取点G，使，可知是等边三角形，再根据“”证明，可得，进而得出是等边三角形，即可得结论；
②设，可得，再证明，可得，代入得出关系式，讨论极值即可．
【小问1详解】
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形.
故答案为：等边；
【小问2详解】
①不变化，理由如下：
在上取点G，使，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②存在，．
设，可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即
当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．