福建省莆田市城厢区莆田文献中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份福建省莆田市城厢区莆田文献中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题，共23页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．x≥1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
。3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是
A．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．9，12，15
。4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为，则图中、两个正方形的面积之和为
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
.7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是
A．5B．10C．15D．20
8．如图，点，分别是，的中点，的平分线交于点，，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
9．已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是( )
A．（0.4，0）B．（0.5，0）C．（0.6，0）D．（0.7，0）
10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
11．比较大小： 2（选填“”、“ ”、“ ” ．
12．中，，则 ．
13．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ．
14．计算： （x＞5）
15．如图，中，，，，点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点所表示的数是 ．
16．如图，∠ABC=90°，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．
三．解答题（共9小题）
17.计算；
（1） （2）
18．如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；

19．一根竹子高1丈，折断后顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中丈、尺是长度单位，1丈尺）

20．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
21．如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
22．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长为1，的顶点、、在网格的格点上．
（1）图1中的周长为 ．（结果保留根号）
（2）若点的坐标为，请你在图中找出一点，使、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点坐标是 ．
（3）在图2中画出以为一边长，另外两边长分别为和的格点．
20．材料阅读
材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索解决下列问题：
（1）填空：的有理化因式是 ．（写出一个即可）
（2）化简：．
（3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化）
24．如图，在中，，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）连接，
①是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
25．已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．
（1）如图1，当时，时，求的大小；
（2）当，时，
①如图2．连接，当，求的长；
②若，求的长．
莆田文献中学2023~2024学年下学期期中考试卷
八年级数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．.2．.3．4．．5．．6．．7．．8．．9..
10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】易知，，，设，由含30度角的直角三角形性质得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面积关系得到，进而阴影部分的面积为．
【解答】解：如图，
由题意得，，，，
设，
在中，，
，即，
解得：，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形性质、全等三角形的性质、三角形的面积，解题关键是利用全等三角形的对应边相等构建方程，求出的长．
二．填空题（共5小题）
11．＞ .12．．13．两直线平行，内错角相等．14.x-5.15．．
16．
解答题（共8小题）
17.
18．如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的角平分线，且，，求的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再由即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义结合推出即可得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
的周长．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．一根竹子高1丈，折断后顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中丈、尺是长度单位，1丈尺）
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，
设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，
由勾股定理得：，
解得：，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
20．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【分析】先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接，
在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，，
为直角三角形，
．
【点评】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．
21．如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：为直角三角形；理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
．
，
，，
，
，即，
为直角三角形．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长为1，的顶点、、在网格的格点上．
（1）图1中的周长为 ．（结果保留根号）
（2）若点的坐标为，请你在图中找出一点，使、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点坐标是 ．
（3）在图2中画出以为一边长，另外两边长分别为和的格点．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出，，的长，再相加即可；
（2）由题意找出坐标原点，建立平面直角坐标系，再结合平行四边形的判定分类讨论找出点即可；
（3）根据，，确定点的位置即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，，，
的周长为．
故答案为：；
（2）根据题意可建立平面直角坐标系，如图，
分类讨论：①当为对角线时，点的位置如图，此时；
②当为对角线时，点的位置如图，此时；
③当为对角线时，点的位置如图，此时．
综上可知，满足条件的点坐标是或或．
故答案为：或或；
（3）如图或即为所求．
【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形，平行四边形的判定．利用数形结合的思想是解题关键．
23．材料阅读
材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索解决下列问题：
（1）填空：的有理化因式是 （答案不唯一） ．（写出一个即可）
（2）化简：．
（3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化）
【分析】（1）利用有理化因式的定义和平方差公式求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）利用分母有理化得到，，然后比较和的大小即可．
【解答】解：（1）的有理化因式为；
故答案为：；（答案不唯一）
（2）原式
；
（3）．
理由如下：
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．
24．如图，在中，，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）的长为 10 ；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）连接，
①是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可；
（2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；
（3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可；
（4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：10；
（2）由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
25．已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．
（1）如图1，当时，时，求的大小；
（2）当，时，
①如图2．连接，当，求的长；
②若，求的长．
【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；
②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案．
【解答】解：（1），，
，
，，
；
（2）①，，
，
，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（负根舍去）；
②如图，过作于，当在的右边时，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
而，，
，
，
当在的左边时，如图，
同理可得：，，，
；
综上：或．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键．
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