2024年山东省淄博市高青县 九年级一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山东省淄博市高青县 九年级一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省淄博市高青县九年级一模考试数学模拟试题原卷版docx、2024年山东省淄博市高青县九年级一模考试数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后、用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．
3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰、写在答题卡各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来答案、然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改、不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列坐标系里的数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念对每一项判断即可解答．
【详解】解：项是轴对称图形，不是中心对称图形，故项不符合题意；
项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故项符合题意；
项既是轴对称图形，不是中心对称图形，故项不符合题意；
项是轴对称图形，不是中心对称图形，故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念及中心对称图形的概念，理解对应概念是解题的关键．
2. “数”读二十大报告，见证中国的十年非凡，十年来，全国832个贫困县全部摘帽，基本养老保险覆盖10.4亿人，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，居民人均可支配收入从16500元增加到35100元．其中，数据35100用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定，的值是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，为正整数；当原数的绝对值时，为负整数．据此即可获得答案．
【详解】解：．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据同底数幂的运算法则和幂的乘方判断即可．
【详解】A．，故原选项错误；
B．，故原选项错误；
C．，故原选项错误；
D．，故原选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 已知实数，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算等知识，先计算出，然后利用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴，
故选：B．
5. 学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数及方差的有关知识，掌握相关概念是解题的关进．
【详解】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数，
故选：C．
6. 在中，，若用科学计算器求的度数．并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用计算器求角的度数，解直角三角形，根据按键顺序即可求解．
【详解】解：如图所示
∵，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，
∴按键顺序为：
故选：D．
7. 若关于的方程有两个相等的实数根，且满足，则实数的值为（ ）
A. 6和B. 3和C. 6和3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到a的方程．根据方程有两个相等的实数根得出，解方程；再根据根与系数的关系得出，，代入，得出关于a的方程，然后解方程；由相同的解得出结果．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，，
∵方程有两个的实数根
∴，，
∵，
∴，即，
解得，，
综上，，
故选：D．
8. 如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质．由于为定值，所以当点在上时，点到点的距离最大，即可求出答案．
【详解】解：，，
，
由折叠性质知，，
的长度为定值，
当点在上时，点到点的距离最大，如图，
由折叠知，，
，
，
故选：D．
9. 如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，如下图，
∵是的直径，为的中点，
∴，
∴点在以为直径的上，
∵的半径为2，
∴半径为1，
当点、、三点共线时，最长，
连接并延长，交于点，
故当点与点重合时，最长，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键．
10. 如图（1）．在，，射线，D为AN上一点，过点D作，交射线BC于点E．研究发现线段CE的长y与线及AD的长x之间的关系可用图（2）的图象表示，已知点，则的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数、平行四边形、等腰三角形和勾股定理的知识；根据平行四边形性质，得；结合图像推导得，再根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质得，最后根据三角函数的性质计算即可得到答案．
【详解】∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据图（2），得M点在图象拐点右侧，即点E在点C右侧，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点A作交BC于点F，
∵
∴
∴
∴的正切值
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据立方根的性质和特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 因式分解：＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
=．
故答案：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
13. 将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形就是主视图是关键．根据题意判断出该几何体的主视图，进而得出它的面积．
【详解】解：该几何体的主视图是一个边长为的正方形，
所以该几何体主视图的面积是：．
故答案为：36．
14. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求折痕__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，易得，根据折叠的性质可得，设，则，根据勾股定理可得，列出方程求出，同理可得：，推出四边形是菱形，根据，即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形沿折叠得到四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
则，
同理可得：，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的面积公式．
15. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形可知第幅图中★的个数为，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可．
【详解】解：第1幅图中★的个数为，
第2幅图中★的个数为，
第3幅图中★的个数为，
……，
以此类推，第幅图中★的个数为，
又∵，
，
，
……，
以此类推，可知，
∴
．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字．
16. 设，若是一个完全平方式，试求值．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了乘法公式的综合应用，分式的混合运算等知识，熟练运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的形式确定的值，由此即可求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴或，
∴或，
∵，
∴当时，
，
当时，
，
∴的值为或．
17. 给出下列不等式：①；②；③．从中选出2个组成不等式组，并解这个不等式组．
【答案】选择①②组成不等式组，解集为；选择①③组成不等式组，解集为；选择②③组成不等式组，该不等式组无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定解集即可．
【详解】解：选择①②组成不等式组，
，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以，该不等式组的解集为；
选择①③组成不等式组，
，
解不等式①，得 ，
解不等式③，得 ，
所以，该不等式组的解集为；
选择②③组成不等式组，
，
解不等式②，得 ，
解不等式③，得 ，
所以，该不等式组无解．
18. 在平行四边形中，分别以为边向平行四边形内作等边三角形和等边三角形，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．分别证明、，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”证明结论即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵、是等边三角形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，即，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【小问1详解】
抽取的学生共有：（人）,
参加围棋社的有：（人）;
【小问2详解】
若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
【小问3详解】
设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点为函数图象上一点．
（1）求的值；
（2）结合函数图象，请直接写出不等式的解集；
（3）连接，当时，求点的坐标．
【答案】（1）的值为，的值为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．
（1）将代入，可求得，则，将代入，计算求解值即可；
（2）先求得反比例函数与一次函数的另一个交点的坐标，进而根据函数图象即可求解．
（3）设，则到轴的距离为，将代入，解得，则，，根据，计算求解满足要求的值，进而可求点坐标．
【小问1详解】
解：将代入得，，
解得，
∴，
将代入得，，
解得，
∴，
∴的值为1，的值为3．
【小问2详解】
由（1）可得
联立
解得：或
∴和的另一个交点为，
∴不等式的解集为或
【小问3详解】
解：设，则到轴的距离为，
将代入，解得，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴点坐标为或．
21. 某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？
【答案】应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套
【解析】
【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，千克紫砂泥做茶杯，然后根据每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯，列出方程组求解即可．
【详解】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，千克紫砂泥做茶杯，
由题意得： ，
解得 ，
∴应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯
∵，
∴恰好配成这种茶具6套．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
22. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）是等腰直角三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【小问1详解】
解：点N，分别是，的中点，
∴，，
点，是，的中点，
∴，，
∵，，
，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，BD最大，
，
，
．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
23. 如图，已知直线与抛物线交于点，且点在轴上，是轴上一点，连接．
（1）求的值；
（2）当取得最小值时，求点的坐标；
（3）若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】（1），，
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设关于轴的对称点为，的坐标为，连接，则与轴的交点即取得最小值时点的位置，求得直线的解析式为，进而即可求解；
（3）由（1）可得，依题意设，，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，代入直线，
∴
解得：，
∴直线表达式为
对于，得，则
∴的坐标为
将点，分别代入
∴
解得：,
【小问2详解】
设关于轴的对称点为，的坐标为，连接，则与轴的交点即取得最小值时点的位置，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
当时，
∴
【小问3详解】
由（1）可得
依题意设，
∴
如图所示，
∵点在线段上，不与端点重合
∴在点的上方，
∴，
∴
，
∴
∵
∴当时，取得最小值，最小值为颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
学生人数
100
180
220
80
750
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80