四川省仁寿实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.
第I卷（选择题）
一.单项选择题.本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，则的值为（ ）
A. －2aB. 2a
C. aD.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【详解】.
故选：B．
2. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导得到，取解得答案.
【详解】，则，取，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导后，代入，求出答案.
【详解】由进行求导得：，
当时，可得：，解得：.
故选：A.
4. 若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.
【详解】因为，所以，令，即，
得或（舍去），所以切点是，代入，
得，.
故选：D
5. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）

A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.
B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，
B选项结论正确.
C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选：D
6. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是
A. 10B. 9C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的几何意义可知，再利用基本不等式求最值.
【详解】，由题意可知，，
，
当，且，解得：，
所以的最小值是9.
故选：B
7. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.
8. 已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，求导即可得到其最大值，从而得到结果.
【详解】由，得，即.
因为，则，当时，，所以在上单调递增，所以，则.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.
【详解】选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上的极大值和最大值相等
B. 直线和函数的图象相切
C. 若在区间上单调递减，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断.
【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．
当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．
选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．
选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．
选项D：易知，
所以，故D正确．
故选：BCD
11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）
A. 当时，是的极值点
B. 当时，恒成立
C. 当时，有2个零点
D. 若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于C，举反例排除即可；对于D，利用极值点偏移的证明方法即可证得.
【详解】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在区间上的平均变化率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
13. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围.
【详解】由求导，，由可得：，
因不满足此式，故可得：，
则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.
由求导，，则当时，，当时，，当时，
则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.
且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.
故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.
故答案为：.
14. 已知直线与曲线相切于点，且与曲线相切于点，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，从而得解.
【详解】由已知直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的方程为，即，
又直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的方程为，
即，所以，所以，
即，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出切线方程.
（2）求出，分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，于是，即，
所以的图象在点处的切线方程是.
【小问2详解】
函数定义域为，求导得，
由题意，得，
令，求导得，
令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，，
当时，，，
故函数在上递减，在上递增，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）极大值为，极小值为；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求出导函数，分析函数的单调性求解极值即可；
（2）求出导函数，分类讨论分析函数的单调性即可.
【小问1详解】
当时，，其定义域为：，
所以，
令，解得或，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，有极大值为，
当时，有极小值为.
【小问2详解】
的定义域为：，
，
令，得或，
若，即，
则当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
若，即，则，所以在上单调递增；
若，即，
则当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
综上所述：
若，在，上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若，在，上单调递增，在上单调递减.
17. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（1）求a值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得.
【小问2详解】
因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
【小问3详解】
证明：由（2）得，时，取得最小值1，所以恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，
当时，，
综上，.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）讨论函数的极值点个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题知，进而构造函数，研究的性质即可得在上单调递增，在上单调递减，最后再求与两者中的最小者即可；
（2）求导后令得，再利用换元法设，得到，构造函数，利用导数分析其单调性和极值，画出图象，再由方程根的个数讨论函数零点的个数.
【小问1详解】
解：当时，，
则，
令，则，
因为，所以．则在上单调递减，
又因为，
所以使得，即时，；时，.
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，在上的最小值是与两者中的最小者．
因为，
所以，函数在上的最小值为．
【小问2详解】
解：，
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为趋近于时， 趋近于，趋近于时， 趋近于，
所以的大致图象如图所示．
因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
设，则，
令，，
在上单调递增函数，在上单调递减，
所以，即，
得，
所以，函数在内单调递增，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．
【点睛】关键点点睛：
（1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值.
（2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数.
19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
（1）若，判断是否为上的“3类函数”；
（2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
【答案】（1）是上“3类函数”，理由见详解.
（2）
（3）证明过程见详解.
【解析】
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【小问1详解】
对于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”.
【小问2详解】
因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
【小问3详解】
因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因，
，
综上所述，，，.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
x
0
-
0
+
递减
极小
递增