吉林省长春市二道区第一〇八学校2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形是疫情导视标识牌，在这些导视标识牌中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的意义求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，
【详解】解：A、如图， 绕着十字中心旋转180°，与自身重合，是中心对称图形
所以A符合题意；
B、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合
所以B不合题意；
C、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合
所以C不合题意；
D、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合
所以D不合题意；
故选择：A ．
【点睛】本题考查中心对称图形的应用，熟练掌握中心对图形的意义在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：1600000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 将一包卷卫生纸按如图所示的方式摆在水平桌面上，则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：找到从上面看所得到的图形即可，从几何体的上面看可得两个同心圆．
故选D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握数轴上表示不等式的解集的方法．
先根据不等式性质求出解集，再将不等式的解集表示在数轴上即可求解．
【详解】解：，
，
则该解集应在数轴上表示为：
，
故选：．
5. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论．
【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则,
∵斜坡,，设，
∴，
∵,则，
∴，
∵长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
即古塔的高度为米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
6. 将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（ ）
A. 8B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；设正六边形的中心为O，连接，过A作于点G；由已知得，则，且，得是等边三角形，则得，，由勾股定理即可求得，即与之间的距离．
【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G，
∵顶点C，F分别对应直尺上刻度12和4，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
即与之间的距离为．
故选：B．
7. 对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的尺规作图方法可直接判断A作法正确；根据全等三角形的判定与性质可判断B作法正确；根据角平分线的判定与性质可判断C作法正确；根据作图方法无法判断D作法正确．
【详解】解：A选项中，由作图痕迹可知是的平分线，
故A选项作法正确，不符合题意；
B选项中，如图，
由作法可知，点P是垂直平分线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B选项作法正确，不符合题意；
C选项中，点P为与的平分线的交点，
∴点P到线段的距离都相等，
∴为的平分线，
故C选项作法正确，不符合题意；
D选项中，点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，
无法说明为的平分线，
故D选项作法不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
8. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，且位似比为，则经过点的反比例函数表达式为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据位似变换的性质、相似三角形的性质求出，进而求出过点的反比例函数表达式．
【详解】解：∵点A在反比例函数上，
∴，
∵以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，
∴，
∴，
∴过点的反比例函数表达式为：，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：
10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴方程的判别式：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键．
11. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，________．
【答案】##52度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出，代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
【答案】900
【解析】
【分析】由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）．
答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm．
故答案是：900．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
13. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，把南海到北海的距离看作单位“1”，野鸭的速度是，大雁的速度为，根据野鸭x天的路程+大雁x天的路程=1，即可列方程．
【详解】解：由题意可得，．
故答案为：．
14. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答．
【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为，
由抛物线过点，
得，
解得：，
∴铅球路径所在抛物线的表达式为；
令，则，
解得：，
∵点Cx轴正半轴上，
∴，
∴米，
故答案为：
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：，
将代入得，原式．
16. 萌萌是一个书法爱好者，她对楷书四大家的书法都情有独钟．如图，若萌萌从这四本楷书名家的字帖中随机取两本（先随机抽取1本，不放回，再随机抽取1本），求抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用列表或树状图求等可能情形下的概率，先列出表格，再进行计算即可．
【详解】解：多宝塔碑为A，皇甫碑为B，玄秘塔碑为C，胆巴碑为D，
列表如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到A和C有2种结果，
∴，
∴抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率为．
17. 列方程解应用题：红团以形圆、色红、馅甜的形态特征寓意团团圆圆、红红火火、甜甜蜜蜜，是一种别具特色的传统喜庆节日食品，更是一种吉祥的文化符号．某社区举办“迎福闹春”活动，购进绿豆、糯米两种畅销口味的红团．已知购进绿豆红团的金额是900元，购进糯米红团的金额是400元，购进绿豆红团的数量比糯米红团的数量多100个，绿豆红团的单价是糯米红团单价的1.5倍．求糯米红团的单价是多少元？
【答案】糯米红团的单价是2元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设糯米红团的单价是x元，则绿豆红团的单价是元，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：设糯米红团的单价是x元，则绿豆红团的单价是元，根据题意，得
，
解方程得，
经检验，是原方程的解，
故糯米红团的单价是2元．
18. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图1中，以点为顶点作，使；
（2）在图2中，找一格点以点为顶点作，使；
（3）在图3中，在上找一点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，根据平行四边形的判定和性质，可得出，根据两直线平行，内错角相等，则；
（2）找到格点，使得，则，点即为所求；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，借助网格作的垂直平分线，交于，即为所求．
【小问1详解】
解：如图1，为所求的角；
如图1所示，由勾股定理可知：
，，，
∴，，则四边形为平行四边形
∴
∴
故即为所求．
【小问2详解】
如图，点即为所求；
∵
∴
【小问3详解】
如图，点为所求的点．
如图所示，
则点、在线段的垂直平分线上，
过点、作直线交于点，
点在线段的垂直平分线上，
即
故点即为所求．
【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握这些性质是解题的关键．
19. 如图，在平行四边形中，，，，点是对角线的中点．过点的直线分别交射线和射线于点，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，的长为________．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质：
（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到结论；
（2）如图，过D作于M，由（1）知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，推出四边形是菱形，得到，根据勾股定理得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是对角线的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：如图，过D作于M，
由（1）知，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，。
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
20. 国家规定：“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况：A组：时间小于0.5小时；B组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；C组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；D组：时间大于等于1.5小时．请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）本次调查的学生人数是 人，直接写出a的值，a＝ ，并补全条形统计图；
（2）本次调查数据的中位数落在 组；
（3）根据统计数据估计该地区25000名中学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的中学生有多少人？
【答案】（1）250， 24，补图见解析；
（2）C； （3）14000人
【解析】
【分析】（1）用D组人数除以所占的百分数即为总人数，用B组人数除以总人数再乘以100即为a的值，用总人数减去B，C，D组的人数即可得到A组的人数，即可补全统计图；
（2）根据（1）中补全的统计图可以得到这组数据的中位数落在哪一组；
（3）利用样本估计总体思想即可求解．
【小问1详解】
解：由题意知，D组人数为20，占总人数的8%，
因此调查的学生人数为：20÷8%＝250（人）．
B组人数占总人数的百分数为：60÷250＝24%．
A组人数为：250－60－120－20＝50（人）．
故答案为：250， 24；补全后的条形统计图如下所示．
【小问2详解】
解：由（1）知，调查的学生人数为250人，
观察条形统计图可知，调查数据按从小到大顺序排序后第125和第126位均在C组，
因此本次调查数据的中位数落在C组．
故答案为：C．
【小问3详解】
解：调查学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数所占比例为：（120+20）÷250＝56%，
25000×56％=14000（人）．
答：估计该地区25000名中学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的中学生有14000人．
【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图等，解题的关键是能够将条形统计图与扇形统计图所给信息进行关联．
21. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲蜡烛燃烧前的高度是________厘米，从点燃到燃尽所用的时间是________小时．
（2）求甲蜡烛燃烧时与之间的函数解析式（不写范围）；
（3）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，直接写出乙蜡烛的高度．
【答案】（1）40；2
（2）
（3）乙蜡烛的高度是30.5厘米
【解析】
【分析】本题主要考查函数的图象、一次函数的应用：
（1）由图象可知，当时，，当时，，这样就可求出蜡烛的长度和燃烧的时间；
（2）结合（1）中的x与y的对应关系，利用待定系数法即可求解；
（3）分别求出乙蜡烛燃烧的速度和时间即可求出结论
【小问1详解】
解：甲蜡烛燃烧前的高度是40厘米，从点燃到燃尽所用的时间是2小时．
故答案为：40；2；
小问2详解】
解：设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：∵乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，
∴乙蜡烛每小时燃烧（厘米），
∵乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，
∴乙蜡烛燃烧时间为（小时）
∴乙蜡烛的高度是（厘米），
答：乙蜡烛的高度是30.5厘米
22. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．

【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31
【解析】
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，

∴S△AEP＝×（2）2＝31，
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
23. 在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题：

（1）如图1，当为几秒时，的面积等于？
（2）如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，以为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）2秒或4秒
（2）的形状是直角三角形，理由见解析
（3）①或②
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积等于列方程求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理进行求解即可；
（3）①当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与相切；当正好与四边形边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．
【小问1详解】
解：当运动时间为t秒时，，，
∴，，
∵的面积等于，
∴，
∴，
解得，，
答：当t为2秒或4秒时，的面积等于
【小问2详解】
解：的形状是直角三角形，理由如下：
∵当秒时，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
同理，在和中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
所以，的形状是直角三角形，
【小问3详解】
解：①（i）由题意可知与 、 不相切；
（ii）如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，

∵
∴，
∴，
∴为的切线
（iii）当正好与四边形的边相切时，如图2所示，

由题意可知：，，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，（舍去），
综上，当或时，与四边形的一边相切；
②（i）当时，与四边形有两个公共点；
（ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点；

由题意知：，，，，
由勾股定理得，，，
∵
∴，
即：，
整理得，，
解得，，（舍去），
∴当时，与四边形有三个公共点
【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理及逆定理以及解一元二次方程，根据题意画出图形，求得与四边形有两个公共点时t的值，从而确定出与四边形有三个公共点时t的取值范围是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点的坐标为，与平行的动直线与抛物线交于，两点（且点在点的左边），以为斜边向右下方做等腰直角三角形，直角顶点为点，直角边与抛物线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点恰好与抛物线与轴的交点重合时，求的值；
（3）当直线与抛物线的交点距离时，是否存在点在抛物线上，点在直线上，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由；
（4）连接，当的面积被线段分为的两部分时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，的面积为
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，由抛物线的顶点式直接求解即可得到答案；
（2）根据题意，作出图形，由（1）中所求抛物线解析式，求出与轴的交点，，再由题意得到直线：，联立方程组求解得到，由是等腰直角三角形求出中边，由正切函数值定义代值求解即可得到答案；
（3）根据，设直线：， ，，联立方程组，利用一元二次方程根与系数关系及两点之间距离公式求出，得出直线解析式，由为等腰直角三角形，分三种情况讨论求解即可得到答案；
（4）设直线：， ，，则，由抛物线的对称性得到的横坐标，由题中的面积被线段分为的两部分，分两种情况：；，再由等腰三角形中，联立或求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线顶点的坐标为，
；
【小问2详解】
解：如图所示：
由（1）知抛物线解析式为，令，解得或，
，，
直线与直线平行，
设直线：，将代入得，解得，及直线：，
联立，解得或，即，
是等腰直角三角形，
，
在中，，则，即；
【小问3详解】
解：存在，的面积为，
由（1）知抛物线解析式为，
直线与直线平行，
设直线：， ，，
联立，消去得，则，，
，
，即，解得，
直线：，
解得或，即，，
当时，如图所示：
根据直线与直线垂直，可设直线：，将代入得，即直线：，
联立得或，即，，
是等腰直角三角形，
，则；
当时，如图所示：
直线：，
，
是等腰直角三角形，
，
，则轴，
，
当时，则，解得或，即，则，由等腰直角三角形性质得到，
；
如图所示：
直线：，
，则，
若是等腰直角三角形，则，
，则轴，
显然，直线轴，与抛物线只有一个交点，不存在点在抛物线上，使是等腰直角三角形；
当时，如图所示：
直线：，
，
若是等腰直角三角形，则，
，则轴，
显然，直线轴，与抛物线只有一个交点，不存在点在抛物线上，使是等腰直角三角形；
如图所示：
直线：，
，
是等腰直角三角形，
，
，则轴，
，
当时，则，解得或，即，则，由等腰直角三角形性质得到， ；
综上所述，存在点在抛物线上，点在直线上，使得为等腰直角三角形；的面积为；
【小问4详解】
解：如图所示：
设直线：， ，，则，
抛物线的对称轴为，
的横坐标可表示为，
的面积被线段分为的两部分，
或，
当，则，即；
当，则，即；
是等腰直角三角形，
，
，则，即，
联立，解得，则；联立，解得，则；
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质、求正切函数值、直线平行的特征、两点之间距离公式、平行线的判定与性质、三角形面积公式、解方程组等知识，读懂题意，灵活运用相关知识求解，分类讨论是解决问题的关键．
A
B
C
D
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