苏科版第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解同步训练题

这是一份苏科版第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解同步训练题，共15页。
1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.
2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.
【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
特别说明：
（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
要点三、十字相乘法分解因式步骤:
1、把二次项系数和常数项分别分解因数。
2、尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数。
3、确定合适的十字图并写出因式分解的结果。
4、检验。
【典型例题】
类型一、因式分解➽➼十字相乘法➽➼
1．阅读与思考：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：．
上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）若可分解为两个一次因式的积，写出整数P的所有可能值．
【答案】（1）；（2）；（3）±16，±8
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（3）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．
解：（1）
（2）
（3）∵15=1×15；15=-15×（-1）；15=-3×（-5）；15=3×5，
则p的可能值为1+15=16
-1+（-15）=-16；
-3+（-5）=-8；
3+5=8；．
∴整数p的所有可能值是±16，±8
【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】分解因式：
； （2）．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；
（2）利用十字相乘法即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
【变式2】因式分解：
【答案】
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
解：
=．
【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
类型二、因式分解➽➼十字相乘法➽➼
2．因式分解：
【答案】
【分析】观察到二次项系数2=1×2，常数项-9=-3×3，一次项系数-3=2×（-3）+1×3，因此用十字相乘法进行分解即可．
解：
=．
【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．
举一反三：
【变式1】分解因式：．
【答案】
【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可
解：
故答案为：；
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键
【变式2】运用十字相乘法分解因式：
； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
类型三、因式分解➽➼十字相乘法➽➼拓展提升
3．(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1) (2) (3) ②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
解：（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点拨】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
举一反三：
【变式1】【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x  c1a2x  c2  a1a2x2 a1c2x  a2c1x  c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x  c1c2．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x  c1a2 x  c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x  2)(x  3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）= ；
（2）= ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式= ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．
【答案】阅读与思考：图见分析， x- 3 x  2；理解与应用：（1） x 12x  7；（2）2x  y3x  2y；探究与拓展：（1）x  2y 13x  y  4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．
【分析】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；
（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；
（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．
【阅读与思考】画十字交叉图：
∴=（x-3)(x+2)
故答案是： x- 3 x  2；
【理解与应用】（1）画十字交叉图：
∴2x2  5x  7 =  x 12x  7，
故答案是： x 12x  7；
（2）画十字交叉图：
∴6x2 7xy  2y2 = 2x  y3x  2y，
故答案是：2x  y3x  2y；
【探究与拓展】（1）画十字交叉图：
∴3x2 5xy  2y2 x  9y  4  x  2y 13x  y  4，
故答案是：x  2y 13x  y  4；
（2）如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，
∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．
∴m的值为：43或－78；
（3）∵，
∴，
画十字交叉图：
∴，
∴或，
∵x，y为整数，
∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．
【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式以及应用，理解并掌握阅读材料中的“画十字交叉图”，是解题的关键．
【变式2】阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．
② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，
而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
类型四、因式分解➽➼十字相乘法➽➼应用
4．我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
已知，，是的三边且满足，判断的形状；
两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
【答案】(1) 等边三角形(2)
【分析】（1）先根据单项式乘多项式把原式化简，再根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性得到，，根据等边三角形的概念求解；
（2）由于含字母的二次三项式的一般形式为其中、、均为常数，且，所以可设原多项式为看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．
（1）解：，
，
，
，
，，
，
为等边三角形；
（2）解：设原多项式为其中、、均为常数，且．
，
，；
又，
，
原多项式为，将它分解因式，得：
．
【点拨】本题主要考查的是因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
举一反三：
【变式1】有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
①方法1：________；方法2：________；
②请写出，，三个代数式之间的等量关系：________．
若，求的值．
如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：________．
【答案】(1) ①，；②(2) 20
图见详解，
【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据非负数的定义可得，，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为．宽为的长方形面积，因此有，
故答案为：，；
②由①得，
故答案为：；
（2）解：，，，
，，
即，，
，
∴的值为20；
（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：
所以有，
故答案为：．
【点拨】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
【变式2】如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
哪种小麦的单位面积产量高？
若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求a的值；
利用（2）中所求的a的值，分解因式x2－ax－2a2＝______．
【答案】(1) 丰收号”单位面积产量高，理由见分析(2) a＝3(3)
【分析】（1）分别表示出两块试验田的单位面积产量，然后比较它们的大小即可；
（2）根据题意列出方程，可求得a的值；
（3）把a的值代入代数式，利用因式分解法分解因式即可．
（1）解：由题意可得：“丰收号”单位面积产量，“丰收号”单位面积产
∵，且
∴
，易知
∴
丰收号”单位面积产量高．
（2）解：由题意可得：
解得：
经检验a＝3是原方程的解，并符合题意，
∴a的值为3；
（3）解：当时，
，
故答案为：
【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练运用因式分解解决问题是本题的关键．