高中人教A版 (2019)8.1 基本立体图形精品第1课时精练

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知识点01：空间几何体的相关概念
（1）空间几何体
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
（2）多面体
由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（3）旋转体
由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.
知识点02：棱柱
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
【即学即练1】（2023上·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以，棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A
知识点03：棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
【即学即练2】（2023下·高一课时练习）下列几何体中不是棱锥的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据棱锥的定义，B、C、D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥.
故选：A.
知识点04：棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
【即学即练3】（2021·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为 .(填序号)
【答案】③
【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.
故答案为：③
题型01棱柱的结构特征
【典例1】（2023下·高一课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱的每个面都是平行四边形
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
【典例2】（多选）（2022下·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）下列关于棱柱的说法正确的是( )
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．棱柱至少有五个面
D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
【变式1】（2022·高一课时练习）下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（多选）（2023下·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）下列关于棱柱的说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个底面一定平行
B．棱柱至少有五个面
C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．正四棱柱一定是长方体
题型02 棱锥、棱台的结构特征
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（ ）
A．三棱锥有4个面是三角形B．棱锥的侧面都是三角形
C．棱锥都有两个互相平行的多边形面D．棱锥的侧棱交于一点.
【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）下列叙述正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考阶段练习）下列命题中成立的是（ ）
A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
题型03 棱柱展开图及最短距离问题
【典例1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（ ）

A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）

A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．

【变式1】（2023上·江西南昌·高二校考期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .

【变式2】（2023上·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为 ．
题型04 判断正方体中截面问题
【典例1】（2023·高一课时练习）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点D．一定构成正多边形
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ）
A．直角三角形B．等腰梯形C．正五边形D．正六边形
【变式1】（2024上·河南三门峡·高三校联考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式3】（2023下·江苏镇江·高一统考阶段练习）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 .
题型05 棱锥的展开图
【典例1】（2023下·福建漳州·高一统考期末）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023下·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为 ．

【变式1】（2023下·河北张家口·高一统考期末）在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A．B．C．D．
【变式2】（2023上·四川内江·高二校考期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

题型06 棱锥中截面有关问题
【典例1】（2023下·河南·高一长葛市第二高级中学校联考阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（ ）

A．11B．C．9D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为 .
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023下·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为 .
题型07 棱台展开图问题
【典例1】（2023·高一课时练习）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
【典例2】（2022·高一课时练习）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称．
题型08 棱台中的截面问题
【典例1】（2024·江西·校联考模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（ ）
A．9.1mB．10.9mC．11.2mD．12.1m
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（2022下·浙江温州·高一统考期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（ ）
A．长方体B．圆台C．四棱台D．正四面体
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·黑龙江伊春·高二伊春二中校考学业考试）如图， 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB= AD=4，，则BD1=（ ）
A．6B．7C．10D．11
2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）

A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体
3．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
4．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（ ）
A．B．C．4D．
5．（2024·全国·高一假期作业）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．多面体至少有5个面
D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形
7．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
8．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）在正方体中，点是线段上的动点，若过三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（ ）
A．等边三角形B．矩形
C．菱形D．等腰梯形
10．（2023·江苏·高一专题练习）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（ ）
A．矩形
B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
11．（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（ ）

A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥
B．几何体是三棱柱
C．几何体是三棱台
D．三棱锥的高与四棱锥的高相等
三、填空题
12．（2023上·上海普陀·高二校考期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 .
13．（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在长方体中，，点M在棱上，当取得最小值时，的长为 .

14．（2023下·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．


15．（2023下·天津和平·高一耀华中学校考期中）给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若底面为正方形，则该四棱柱为正四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是 ．
B能力提升
1．（2023上·上海·高二校考期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ．
2．（2023上·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ．
3．（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．

4．（2023上·云南保山·高三统考期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
5．（2023下·全国·高一专题练习）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 .
课程标准
学习目标
①通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
②.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系。
③能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.学会用连续变化的观点，或者函数的思想找到他们之间的区别与联系；
3.在熟悉基本知识的基础上，能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学抽象和数学运算能力；