高中数学竞赛标准教材14第十四章 极限与导数【讲义】

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基础知识
1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法与例题
1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）当a>1时，
当00,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0