广东省惠州市惠阳区惠阳中山中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数为非负数．
2. 若是最简二次根式，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中-2，，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 1，，4
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足：时，则三角形是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可．
由勾股定理的逆定理逐项判定，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是三角形，故本选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 下列运算结果正确的是( )
A. ＝﹣3B. (﹣)2＝2C. ÷＝2D. ＝±4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及运算进行解答得到答案．
【详解】A. ，错误；
B. （﹣）2=2，正确；
C. ，错误；
D. ，错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，仔细检查是关键.
5. 在ABCD中，AB=7cm，BC=4cm，则ABCD的周长是( )
A. 11cmB. 7cmC. 28cmD. 22cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形对边相等的性质，从而计算周长．
【详解】∵四边形是平行四边形，AB=7cm，BC=4cm
∴CD=AB=7cm，BC=AD=4cm
∴平行四边形ABCD的周长为：22cm
故答案选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等是解题关键．
6. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（ ）
A. 4B. 8C. 9D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.
【详解】解：楼梯的水平宽度=，
∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，
∴地毯的长度至少为：3+4=7米，
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.
7. 如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. AB=CDB. AO=COC. AC=BDD. BO=DO
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分即可作出判断．
【详解】解：A、根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD正确；
B、根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO正确；
C、平行四边形的对角线不一定相等，则AC＝BD错误；
D、根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键．
8. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形的面积分别是3，6，3，4，则正方形的面积是（ ）
A. 10B. 7C. 16D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．
根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题．
【详解】解：如图记图中两个正方形分别为、．
根据勾股定理得到：与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而，的面积的和是G的面积，
即、、、的面积之和为G的面积，
正方形的面积，
故选：C．
9. 如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要从点A爬到点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A. 7B. 10C. 13D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是把立体图形转换成平面图形，运用勾股定理来解．
将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结果．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24，
则，
又因为圆柱体的高为5，
∴，
所以，
故蚂蚁爬行的最短距离是13．
故选：C．
10. 如图，在数轴上，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，点所表示的数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
数轴上的点表示的数是，点O表示的数是1，则，已知于点O，且，根据勾股定理求出，则即为点表示的数．
【详解】解：由题意可得，
，，，
，
，
∴
点表示数为：，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 计算：___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：．
故答案为：．
12. 如图，输入的值为，则输出的数值_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，理解运算程序是解题的关键．
根据运算程序把代入，进行计算即可得解．
【详解】解：∵
∴．
故答案：2．
13. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，分母有理化．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，分母有理化是解题的关键．
由题意知，，解得，，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，中，，于点，则________．
【答案】4.8
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．先由勾股定理求出长，再根据直角 三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵
∴
∴．
故答案为：4.8．
15. 观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键．
根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式．
【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，
第10个等式：，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】针对二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【详解】解：原式=.
17. 如图，在中，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理．根据含30度的直角三角形的性质求出的长是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求出的长，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：，在中，∵
∴
由勾股定理，得．
18. 如图，点是的对角线上两点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
连接，交于点，连接，，由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】证明：连接，交于点，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
∴．
19. 如图，在边长为1的正方形网格上有一个，它的各个顶点都在格点上．
（1）求各边长；
（2）是直角三角形吗？为什么？
【答案】（1），，
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握利用网格与勾股定理求线段长是银题的关键．
（1）根据网格，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判定即可得出结论．
【小问1详解】
解：由勾股定理，得，
，
．
【小问2详解】
解：是直角三角形，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
20. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向．
【详解】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里，
，
，
“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行，
，
∴．
“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行．
21. 如图，在中，点分别在上，点在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据SAS可以证明△MAE≌△NCF．从而得到EM=FN，∠AEM=∠CFN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEM=∠EFN，则EM∥FN．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形是解题的关键.
22. 已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【答案】（1）16；（2）﹣8
【解析】
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣2，再利用平方差公式得到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；
（2））∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣2）
＝﹣8．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，23题10分，24题12分，共22分．
23. 如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，．
（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键．
（1）利用矩形的性质得到，再根据勾股定理计算出；利用折叠的性质得，，，所以，设，则，，利用勾股定理得到，解得，即可求解．
（2）然后利用三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：四边形为矩形，
∴，
∵，
在中，；
由折叠可得，，，
所以，
设，则，，
由勾股定理得到，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知：，，，
∴，
∴的面积．
24. 如图，在中，，若点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止，设运动时间为秒（）．
（1）①当点在上时，用含的式子表示的长为________；
②当点的上时，用含的式子表示的长为________；
（2）如图①，若点在上，且满足时，求出此时的值；
（3）如图②，射线平分，若点恰好在的角平分线上，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题属动点问题，主要考查了勾股定理，角平分线性质，全等三角形的判定与性质．
（1）先由勾股定理，求得，再根据线段和差表示出的长即可；
（2）连接，在中，由勾股定理求解即可；
（3）先说明点为射线与边的交点，再过点P作于E，由角平分线性质得，然后证明，得出，从而得出，最后根据，，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理，得，
①当点在上时，，
②当点的上时，．
【小问2详解】
解：如图，连接，
由题意，得，，
在中，由勾股定理，得
解得：．
【小问3详解】
解：∵点恰好在的角平分线上，
∴点为射线与边的交点，
过点P作于E，如图②，
∵射线平分，，，
∴，
∵
∴
∴
∴
由（1）知：，
∴
在中，由勾股定理，得
解得：，
答：若点恰好在的角平分线上， 的值为．