2023-2024学年四川省凉山州民族中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省凉山州民族中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简3(a+2b)−2(a+b)的结果为( )
A. a+4bB. a+bC. 2a+bD. a−b
2.设f(csx)=cs3x，则f(sin30°)的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. 32
3.已知向量a=(2m,1),b=(5,2)，若a/​/b，则m的值为( )
A. −15B. 15C. −52D. 54
4.已知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，向量a在向量b方向上的投影向量的模为( )
A. −35B. 35C. 3D. −3
5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00，则△ABC是锐角三角形
B. 若a=(λ,2)，b=(−3,1)，且a与b夹角为锐角，则λ∈(−∞,23)
C. 若(AB+AC)⋅BC=0，则△ABC是等腰三角形
D. 若csA=sinB，则△ABC是直角三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,−1)，b=(2,5)，则|a+b|= ______．
14.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，csβ=513，则sinα=______．
15.如图所示，已知△AOB，点C是点B关于点A的对称点，OD=2DB，DC和OA交于点E，若OE=λOA，则实数λ的值为______．
16.已知点P是△ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)(λ>0)，射线AP与边BC交于点D，若∠BAC=2π3，|AD|=1，则|BC|的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知|a|=3，|b|=4．
(1)若a与b的夹角为60°，求(a+2b)⋅a；
(2)若a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a−kb互相垂直？
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(sinx+csx)2+2cs2x.
(Ⅰ)求f(x)最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE=mAB,AF=nAC，m，n∈(0,1).设EF的中点为M，BC的中点为N．
(1)若A，M，N三点共线，求证m=n；
(2)若m+n=1，求|MN|的最小值．
20.(本小题12分)
已知f(x)=cs(π2+x)sin(x−3π2)sin(3π+x)sin(x−π)．
(1)若f(α)=12，求sinαcsα+2sin2α的值；
(2)若f(α−β)=−2，f(α)=−3且α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，求2α−β的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(1+1tanx )sin2x+msin(x+π4)sin(x−π4)
(1)当m=0时，求f(x)在区间[π8,3π4]上的取值范围；
(2)当tana=2时，f(a)=35，求m的值．
22.(本小题12分)
设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcsx的“相伴向量”．
(1)设函数g(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求函数g(x)的相伴向量OM；
(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若方程f(x)=k+1−2 3|sinx|在区间x∈[0,2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3(a+2b)−2(a+b)
=3a+6b−2a−2b
=a+4b．
故选：A．
利用向量的运算法则直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵f(csx)=cs3x，则f(sin30°)=f(cs60°)=cs180°=−1，
故选：C．
利用诱导公式可得f(sin30°)=f(cs60°)，再应用已知的条件可得它的值．
本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为f(cs60°)，是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b且a=(2m,1),b=(5,2)，
∴4m−5=0，解得m=54，
故选：D．
利用向量共线定理即可判断出．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，则a⋅b=−3
故向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−31⋅(1,0)1=(−3,0)，
故向量a在向量b方向上的投影向量的模为 (−3)2=3．
故选：C．
求出a⋅b，根据投影向量的概念求出向量a在向量b方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题图可知：A=1，T=4×(7π12−π3)=π，
∴ω=2ππ=2，又sin(2×7π12+φ)=−1，
φ+7π6=2kπ−π2，k∈Z，由00，
由a=(λ,2)，b=(−3,1)，
则a⋅b=2−3λ，即2−3λ>0，解得λ0)，得AP=OP−OA=λ(AB|AB|+AC|AC|)(λ>0)，
即点P在∠BAC的角平分线上，即AD为∠BAC的角平分线，
因为∠BAC=2π3，所以∠CAD=π3，
在△ADC中，AD=1，则CDsin∠CAD=ADsinC，所以CD=ADsinC×sinπ3= 32sinC，
所以BC=BD+CD= 32(1sinB+1sinC)，
因为B+C=π3，即有sinB>0，sinC>0，
所以BC= 32(1sinB+1sinC)≥ 32×2 1sinB⋅1sinC= 3 1sin(π3−C)sinC，当且仅当1sinB=1sinC时等号成立，
所以sin(π3−C)sinC= 32sinCcsC−12sin2C= 34sin2C−14(1−cs2C)=12sin(2C+π6)−14，
因为0