2023-2024学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1−e2)⋅e2=( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2,A=π6，csB= 154，则b=( )
A. 33B. 1C. 2D. 2 3
3.已知sin2α1−cs2α=−13，则tanα=( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
4.如图，向量a−b等于 ( )
A. −2e1−4e2B. −4e1−2e2C. e1−3e2D. −e1+3e2
5.计算tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°=( )
A. 4B. −2C. −4D. 2
6.如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离MN为40(2− 3)m，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是α=15°和β=60°，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角γ=45°，假设EF，MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF为( )
A. 120mB. 90mC. 40 3mD. (80 3−120)m
7.△ABC所在平面内一点P满足CP=sin2α⋅CA+cs2α⋅CB，若BA=5BP，则cs2α=( )
A. 15B. 35C. 45D. −45
8.辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ).已知函数f(x)=asinx+bcsx(其中a≠0，b∈R，tanφ=ba).若∀x∈R，f(x)≤f(π6)，则下列结论正确的是( )
A. f(π2)>f(π4)
B. f(x)的图象关于直线x=2π3对称
C. f(x)在[π6,7π6]上单调递增
D. 过点(a,b)的直线与f(x)的图象一定有公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a,b,c是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A. 若a//b，则a⋅b=|a|⋅|b|
B. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
C. a/​/c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c=λa
D. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知函数f(x)= 3sin2x−cs2x，x∈R，则( )
A. −2≤f(x)≤2B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C. f(x)的最小正周期为πD. ∀x∈R，f(π3+x)=f(π3−x)
11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
D. 若A=30°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
13.已知α是锐角，csα=13，则cs(α2+π6)= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2asinA−bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则Sb2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tan(π4+α)=12．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin2α−cs2α1+cs2α的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AD；
(2)若|a|=1，|b|=1，且a与b的夹角为60°，求|BE|．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(sinA,b+c)，n=(sinC−sinB,a+b)，且m//n．
(1)求角C；
(2)若b=2，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10(sinB+C2)2=7−cs2A.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3．
(1)求角A；
(2)若a=3，△O1O2O3的面积为7 34，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
由倍角公式cs2θ=2cs2θ−1，可知cs2θ可以表示为csθ的二次多项式.对于cs3θ，我们有cs3θ=cs(2θ+θ)=cs2θcsθ−sin2θsinθ=(2cs2θ−1)csθ−2sin2θcsθ=2cs3θ−csθ−2(1−cs2θ)csθ=4cs3θ−3csθ
可见cs3θ也可以表示成csθ的三次多项式．
(1)利用上述结论，求sin18°的值；
(2)化简cs(60°−θ)cs(60°+θ)csθ；并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值；
(3)已知方程4x3−3x−12=0在(−1,1)上有三个根，记为x1，x2，x3，求证：4x13+4x23+4x33=32．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：已知单位向量e1，e2的夹角为120°，
则|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=1×1×(−12)=−12，
则(2e1−e2)⋅e2=2e1⋅e2−e22=2×(−12)−12=−2．
故选：A．
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在三角形中，csB= 154，所以sinB= 1−cs2B= 1−1516=14，
在a=2,A=π6，csB= 154，由正弦定理可得：asinA=bsinB，
所以b=sinBsinA×a=1412×2=1．
故选：B．
由csB的值，可得sinB，再由正弦定理可得b的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：sin2α1−cs2α=−13=2sinαcsα2sin2α=1tanα，
则tanα=−3．
故选：D．
由已知结合二倍角公式进行化简，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则、坐标表示，属于基础题．利用向量的三角形法则、坐标表示即可得出．
【解答】
解：由图可知：a−b即为图中AB，
∴a−b=−e1+3e2．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°
=sin12°cs12∘− 32(2cs212°−1)sin12°
=sin12°− 3cs12°2cs24°sin12°cs12°
=2(12sin12°− 32cs12°)12sin48°
=2sin(12°−60°)12sin48∘
=−4．
故选：C．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△PMN中，PM=MNsin15∘，
在△FPM中，∠FMP=45°+15°=60°，∠FPM=180°−60°−15°=105°，
则∠MFP=180°−105°−60°=15°，
由正弦定理MPsin∠MFP=PFsin∠PMF，
可得PF=sin∠PMFsin∠MFP⋅MP=sin60°sin15∘⋅MNsin15∘= 32×MNsin215∘= 3MN1−cs30°，
在Rt△PEF中，EF=PF⋅sin60°= 3MN1−cs30°⋅sin60°=40 3(2− 3)1− 32× 32=120(m)．
故选：A．
根据题意可得PM=MNsin15∘，在△FPM中利用正弦定理可求PF，进而在Rt△PEF中求得结果．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵BA=5BP，∴BP=15BA，
∴CP=CB+BP=CB+15BA=CB+15(CA−CB)=15CA+45CB，
又∵CP=sin2α⋅CA+cs2α⋅CB，
∴sin2α=15，cs2α=45，
∴cs2α=cs2α−sin2α=45−15=35．
故选：B．
根据平面向量的基本定理，求得sin2α和cs2α的值，根据二倍角公式求解即可．
本题考查平面向量基本定理与倍角公式的应用，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)(其中tanφ=ba，a≠0)，
因为∀x∈R，f(x)≤f(π6)，所以π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，
解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，
不妨取φ=π3，所以f(x)= a2+b2sin(x+π3)≤ a2+b2，
即f(π6)=asinπ6+bcsπ6=12a+ 32b= a2+b2，
解得b= 3a>0，
所以f(x)=2asin(x+π3)(a>0)，
则f(π2)=2asin(π2+π3)=a，
f(π4)=2asin(π4+π3)=2a(sinπ4csπ3+csπ4sinπ3)=2a( 22×12+ 22× 32)= 2+ 62a，
所以f(π2)0)在[π6,7π6]上单调递减，故C错误；
因为f(x)=2asin(x+π3)(a>0)是x∈R，且−2a≤f(x)≤2a的周期函数，
又b= 3a>0，
故过点(a,b)即过点(a, 3a)(a>0)的直线与f(x)的图象一定有公共点，故D正确．
故选：D．
由f(x)≤f(π6)可得φ=π3，f(x)=2asin(x+π3)，计算出f(π2)、f(π4)可判断A；由三角函数对称性质可判断B；整体代换法和b值可判断C；由−2a≤f(x)≤2a可判断D．
本题考查了三角函数的性质，也考查了学生的推理和计算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a，b反向共线时，a⋅b=−|a||b|，故A错误；
对于B，向量a,b,c是三个非零向量，
若a//b，b/​/c，则a/​/c，故B正确；
对于C，向量a,b,c是三个非零向量，
则a/​/c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c=λa，故C正确；
对于D，|a+b|=|a−b|，
则a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，即a⋅b=0，
故a⊥b，故D正确．
故选：BCD．
根据已知条件，结合向量共线、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
对于选项A：因为x∈R，所以−2≤f(x)≤2，故选项A正确；
对于选项B：当x∈(0,π)时，2x−π6∈(−π6,11π6)，
当2x−π6=0或2x−π6=π时即x=π12或x=7π12时f(x)=0，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点，故选项B不正确；
对于选项C：f(x)的最小正周期T=2π2=π，故选项C正确；
对于选项D：2×π3−π6=π2+kπ(k∈Z)，此时k=0，
所以x=π3是对称轴，故选项D正确．
故选：ACD．
首先利用辅助角公式化简f(x)，再利用正弦函数的性质分别判断四个选项的正误，即可得正确选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，AC⋅AB>0，即|AC||AB|csA>0，csA>0，A是锐角，但B，C是否都为锐角，不确定，A错；
选项B，由正弦定理asinA=bsinB，因此sinA>sinB⇔a>b，B正确；
选项C，由正弦定理，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k，
则csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22⋅2k⋅3k=−140，4cs218°−3=2sin18°，即4(1−sin218°)−3=2sin18°，即4sin218°+2sin18°−1=0，
因为sin18°>0，解得sin18°= 5−14；
(2)cs(60°−θ)cs(60°+θ)csθ=(12csθ+ 32sinθ)(12csθ− 32sinθ)csθ
=(14cs2θ−34sin2θ)csθ=(cs2θ−34)csθ=14(4cs3θ−3csθ)=14cs3θ，
sin20°sin40°sin60°sin80°= 32cs70°cs°50°cs10°= 32cs(60+10)°cs°(60−10)°cs10°= 32×14cs30°=316；
(3)证明：因为x∈(−1,1)，所以可令x=csθ(0