2024年广东省清远市英德市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省清远市英德市中考数学一模试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，若a/​/b，∠1=60°，则∠2的度数是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
4.圆周率π是无限不循环小数.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为( )
A. 110B. 19C. 15D. 13
5.已知函数y=2x+1的图象经过点A(−1,y1)，B(1,y2)，则比较y1，y2的大小为( )
A. y1>y2B. y16.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A. AB//DC
B. AC=BD
C. AC⊥BD
D. OA=OC
7.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. 3a2−2a2=1C. (−2a)3=−8a3D. a3÷a3=a
8.分解因式：x2−4=( )
A. (x−4)2B. (x−2)2C. (x+2)(x−2)D. (x+4)(x−4)
9.代数式kx+b中，当x取值分别为−1，0，1，2时，对应代数式的值如表：
则k+b的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. 5
10.将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为( )
A. π2,180°B. π4,540°C. π4,1080°D. π3,2160°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某种流感病毒直径大约是0.000012厘米，该数据用科学记数法可表示为______厘米．
12.计算：a−2a+2a= ______．
13.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为______．
14.中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程______．
15.如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A′B′CD′，则阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算题：
(1)(π−1)0+4sin45°− 8+|−3|；
(2)解不等式组1−x>32x−5≥0．
17.(本小题8分)
△ABC如图所示．
(1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE/​/AB，交BC于点E.求证：BE=DE．
18.(本小题6分)
小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入.设他录入文字的速度为v字/分钟时，完成录入的时间为t分钟.求t与v之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)．
19.(本小题9分)
为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆⋅悦享书世界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告(不完整)：
××中学学生借阅图书情况调查报告
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名．
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.但经过小组讨论，方案被否决了.请指出该方案被否决的原因．
20.(本小题9分)
某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A、B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完.销售A型玩具的价格y(单位：元/个)与销售量x(单位：个)之间的函数关系是：y=−2x+80；销售B型玩具日获利m(单位：元)与销售量n(单位：个)之间的关系为：m=16n−260.若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
21.(本小题9分)
为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
(1)哪个小组的数据无法计算出河宽？
(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1m).(参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70)
22.(本小题12分)
如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6.点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为______；
(2)在(1)的条件下，证明：FG是⊙O的切线；
(3)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−14x2+bx+c与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②若G是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：从上往下看，易得一个长方形．
故选D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵a/​/b，∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°．
故选：C．
直接根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，
∴P(数字是9)=110．
故选：A．
从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可．
本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵一次函数解析式为y=2x+1，2>0，
∴y随x增大而增大，
∵1>−1，
∴y2>y1，
故选：B．
判断出一次函数的增减性即可得到答案．
本题主要考查了一次函数的增减性，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB//DC，故A选项正确；
B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误；
C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确；
D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故D选项正确．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：A.a2⋅a3=a5≠a6，故此选项不符合题意；
B.3a2−2a2=a2≠1，故此选项不符合题意；
C.(−2a)3=−8a3，故此选项符合题意；
D.a3÷a3=1≠a，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．
本题考查整式的运算，掌握整式运算的相关法则是关键．
8.【答案】C
【解析】解：(x2−4)=(x+2)(x−2).故选C．
本题考查用公式法进行因式分解．根据该题特点：两项分别是x和2的平方，并且其符合相反，可以用平方差公式进行分解．
本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子特点要记熟记牢．
9.【答案】C
【解析】解：∵x=1时，代数式kx+b=3，
∴k+b=3．
故选：C．
结合表中数据解答即可．
本题考查求代数式的值，理解题意：要求k+b的值是多少，也就是求x=1时，代数式kx+b的值是多少是关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为45×π×1180=π4，
展开后得到的多边形的内角和为180°×(8−2)=1080°．
故选：C．
把360度折叠三次得到45°，则可根据弧长公式计算出虚线①所对的圆弧长，由于把圆分成两8个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，也考查了多边形内角与外角和折叠性质．
11.【答案】1.2×10−5
【解析】解：0.000012厘米=1.2×10−5厘米．
故答案为：1.2×10−5．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】1
【解析】解：a−2a+2a
=a−2+2a
=aa
=1．
故答案为：1．
利用同分母分式相加减的运算法则计算即可．
本题主要考查了分式的加法运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
13.【答案】70°
【解析】解：∵∠APD=∠B+∠D
又∵∠A=∠D=40°，∠B=30°，
∴∠APD=∠B+∠D=70°，
故答案为：70°．
利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14.【答案】3(x−2)=2x+9
【解析】解：设有x辆车，则可列方程：
3(x−2)=2x+9．
故答案是：3(x−2)=2x+9．
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长B′C=6−2=4，宽A′B′=4−1=3，
∴阴影部分的面积=4×3=12，
故答案为：12．
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长与宽，即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
16.【答案】解：(1)原式=1+4× 22−2 2+3
=1+2 2−2 2+3
=4；
(2)1−x>3①2x−5≥0②，
解不等式①得：x<−2；
解不等式②得：x≥2.5，
∴原不等式组无解．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】(1)解：如图，BD为所作；

(2)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//AB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE．
【解析】(1)利用基本作图，作∠ABC的平分线即可；
(2)利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，再根据平行线的性质得到∠EDB=∠ABD，则∠EDB=∠EBD，从而得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知角的角平分线).也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
18.【答案】解：∵当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入，
∴这篇社会调查报告共100×240=24000(字)．
根据题意得：vt=24000，
∴t=24000v．
又∵v，t均为正值，
∴t与v之间的函数关系式为t=24000v(v>0)．
【解析】利用这篇社会调查报告的总字数=他录入文字的速度×完成录入的时间，可求出这篇社会调查报告的总字数，再利用完成录入的时间=这篇社会调查报告的总字数÷他录入文字的速度，即可找出t与v之间的函数关系式．
本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出t与v之间的函数关系式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)借阅图书的总数量为：288÷40%=720(本)；
∴A类书籍的借阅量为：720×35%=252(本)，
C类书籍的借阅量为：720×15%=108(本)，
D类书籍的借阅量为：720×(1−35%−40%−15%)=72(本)，
补全统计图如下：

答：被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本．
(2)200−11−20−72200×1200=582(名)，
答：估计该校图书借阅数量为3本及以上的学生有582名．
(3)小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．(写出一条，言之有理即可)
【解析】(1)根据扇形统计图和条形统计图得，B类书籍占总体书籍的40%，即可求出总体书籍；并补全条形统计图；
(2)根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为3本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可；
(3)根据抽样调查选择样本，即可．
本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择即可．
20.【答案】解：(1)设每个B型玩具的进价是a元，则每个A型玩具的进价是(a+2)元，
根据题意得：600a+2=500a，
解得：a=10，
经检验，a=10是所列方程的解，且符合题意，
∴a+2=10+2=12(元)．
答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；
(2)∵x+n=50，
∴n=50−x．
根据题意得：(−2x+80−12)x+16(50−x)−260=300，
整理得：x2−26x−120=0，
解得：x1=30，x2=−4(不符合题意，舍去)，
∴10+16(50−x)−26050−x=10+16×(50−30)−26050−30=13(元)．
答：B型玩具的销售单价是13元．
【解析】(1)设每个B型玩具的进价是a元，则每个A型玩具的进价是(a+2)元，利用数量=进货总价÷进货单价，结合用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，可得出每个B型玩具的进价，再将其代入(a+2)中，即可求出每个A型玩具的进价；
(2)由当天共销售A、B两种玩具50个，可得出n=50−x，结合该超市销售这50个玩具日获利共300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入10+16(50−x)−26050−x中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21.【答案】解：1第二个小组的数据无法计算出河宽．
2第一个小组的解法：
∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°，
∴∠BHC=∠BCH=35°，
∴BC=BH=60m，
∴AH=BH·sin∠ABH=BH·sin70°≈60×0.94=56.4m．
(或选第三个小组的解法：设AH=xm，
∵AH⊥BC，
则AC=AHtan∠ACH，AB=AHtan∠ABH，
∵AC+AB=BC，
∴AHtan∠ACH+AHtan∠ABH=BC，
∴xtan35°+xtan70°=101，
解得：x≈56.4.)
答：河宽约为56.4m．
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
(1)第二个小组的数据无法计算河宽．
(2)第一个小组：证明BC=BH=60m，解直角三角形求出AH即可．
第三个小组：设AH=xm，则CA=AHtan35∘，AB=AHtan70∘，根据CA+AB=BC，构建方程求解即可．
22.【答案】1213
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD/​/AB，CD=AB=13，
∴∠EAB=∠DEA，
∵E是CD的中点，
∴DE=12CD=132，
∴tan∠DEA=ADDE=6132=1213．
故答案为：1213．
(2)证明：连接OF，
在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA．
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠OFA=∠EBA．
∴OF//EB．
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线．
(3)解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．
设DE=x，则EC=13−x．
由勾股定理得：AE2+EB2=AB2，
即(36+x2)+[(13−x)2+36]=132，
整理得x2−13x+36=0，
解得：x1=4，x2=9，
∴DE=4或9，
当DE=4时，CE=9，BE= CE2+BC2= 92+62=3 13，
当DE=9时，CE=4，BE= CE2+BC2= 42+62=2 13，
∴BE能与⊙O相切，此时BE=2 13或3 13．
(1)可得∠EAB=∠DEA，求出tan∠DEA的值即可；
(2)连接OF，证明△ADE≌△BCE(SAS)，得出AE=BE，则∠EAB=∠EBA.证出OF//EB.可得出FG⊥OF，则结论得证；
(3)先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°.设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将A(−2,0)，B(8,0)代入抛物线y=−14x2+bx+c，得：
−14×(−2)2−2b+c=0−14×82+8b+c=0，
解得b=32c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4．
(2)①由抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4，得C(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+t，将B(8,0)，C(0,4)代入，得：
8k+t=0t=4，
解得k=−12t=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4．
设第一象限内的点D的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则E(m,−12m+4)，
∴DE=(−14m2+32m+4)−(−12m+4)=−14m2+2m，BF=8−m，
∴DE+BF=(−14m2+2m)+(8−m)=−14(m−2)2+9．
∵−14<0，
∴当m=2时，DE+BF有最大值，为9．
②∵A(−2,0)，B(8,0)，C(0,4)，
∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，
∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80，AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵DF⊥x轴于点F，
∴∠FEB+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠FEB=∠DEC．
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需OADE=AGCE或OACE=AGDE．
∵G是AC的中点，A(−2,0)，C(0,4)，
∴G(−1,2)，OA=2，AG=12AC=12 20= 5．
由①知DE=−14m2+2m，E(m,−12m+4)，
∴CE= m2+[4−(−12m+4)]2= 52m.
当OADE=AGCE时，2−14m2+2m= 5 52m，
解得m=4或m=0(舍去)，
∴D(4,6)．
当OACE=AGDE时，2 52m= 5−14m2+2m，
解得m=3或m=0(舍去)，
∴D(3,254)．
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，点D的坐标为(4,6)或(3,254).
【解析】(1)运用待定系数法求出函数解析式；
(2)①设点D的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则求出直线BC的解析式，得到E(m,−12m+4)，求出DE+BF，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出AG长，由①知DE=−14m2+2m，E(m,−12m+4)，分两种情况：OADE=AGCE和OACE=AGDE，建立方程求出m，得到点D的坐标．
此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
kx+b
…
−1
1
3
5
…
调查主题
××中学学生借阅图书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项各类图书借阅量统计

说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
第二项学生个人借阅量统计
图书借阅量/本
0
1
2
3
…
人数/名
11
20
72
30
…
调查结论
……
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据
BC=60m，
∠ABH=70°，
∠ACH=35°．
BD=20m，
∠ABH=70°，
∠BCD=35°．
BC=101m，
∠ABH=70°，
∠ACH=35°．