2023-2024学年广东省阳江市两阳中学高二（下）月考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市两阳中学高二（下）月考数学试卷（一）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在直角坐标系中，直线 3x−y−3=0的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
2.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A. 4种B. 6种C. 21种D. 35种
3.如图，在三棱锥P−ABC中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足CM=2BM，设PA=a，PB=b，PC=c，则MN=( )
A. −12a+23b−13cB. 12a−23b−13c
C. 12a+23b−13cD. −12a−23b+13c
4.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{an}，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn}，则b8=( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
5.(1+x)(1−2x)5的展开式中x2的系数为( )
A. −40B. −10C. 40D. 30
6.如图，已知圆柱OO1的轴截面AA1B1B为矩形，AB=2AA1，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，A1P=12PB1，AQ=2QB，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为( )
A. 13B. 33C. 22D. 32
7.已知函数f(x)=ex(2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2，BF1与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1，则双曲线C的离心率为( )
A. 3
B. 2 3
C. 13
D. 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(7−x)7的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有7项B. 展开式的各二项式系数的和为128
C. 展开式的第7项的二项式系数为49D. 展开式的各项系数的和为67
10.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an−bn+4，4bn+1=3bn−an−4.则( )
A. {an+bn}是等比数列B. {an−bn}是等差数列
C. an+bn=12nD. bn=12n−n+12
11.已知点M在圆x2+y2−2x−3=0上，点P(2,1)，Q(3,2)，则( )
A. 存在点M，使得|MP|=1B. 存在点M，使得|MP|=|MQ|
C. ∠MQP≤π4D. |MQ|= 2|MP|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线2y2=x的焦点坐标是______．
13.在等比数列{an}中，a2=3，a5=81，Sn为该数列的前n项和，Tn为数列{an2}的前n项和，且Tn=tS2n，则实数t的值是______．
14.已知f(x)=(x+1)ex，若对任意x1，x2∈[−3,0]，都有|f(x1)−f(x2)|≤t，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设{an}是正项等差数列，a3=3，且a2，a5−1，a6+2成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，且bn=1Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PB⊥平面EFD；
(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)，且−1，1是函数f(x)的两个极值点．
(1)求a与b的值；
(2)若函数f(x)在[−2,2]上有最小值为−2，在(−2,m)上有最大值，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)，
(1)当a=12时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，不等式f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(− 3,0),F2( 3,0)，|MF1|+|MF2|=4，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点(1,0)的直线l与C交于P，Q两点，A(−2,0)，B(2,0)，设直线AP，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3．
(Ⅰ)若k2= 32，求k3；
(Ⅱ)证明：k2(k1+k3)为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵直线 3x−y−3=0的斜率为 3，设它的倾斜角为α，
则有tanα= 3，且α∈[0,π)，∴α=π3，
故选：B．
由直线的方程求出它的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C42=6种．
故选：B．
元素相同问题用隔板法．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算，中线向量，属于基础题．
直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【解答】
解：在三棱锥P−ABC中，点M在棱BC上，且满足CM=2BM，设PA=a，PB=b，PC=c，
故BC=PC−PB=c−b，BA=PA−PB=a−b，
所以BM=13BC=13c−13b，
由点N为棱AP的中点，
所以BN=12(BA+BP)=12a−12b−12b=12a−b，
故MN=BN−BM=12a−b−13c+13b=12a−23b−13c．
故本题选B．
4.【答案】C
【解析】解：法一：根据题意知，数列2，5，9，14，20，27，…
满足bn−1=an−an−1=n+1(n≥2)，
所以b8=a9−a8=10．
法二：由题意得，新数列{bn}为3，4，5，6，7，8，9，10…，故b8=10．
故选：C．
根据观察法，即可得出结果．
本题考查数列的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意知，(1−2x)5的展开式的通项公式为C5r(−2)rxr，
∴展开式中含x2项的系数为C52(−2)2+C51(−2)1=30．
故选：D．
写出二项式(1−2x)5的通项，分别求出含x2的项与含x1的项的系数，再由多项式乘多项式求解．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AB=2AA1=6，则A(0,0,0)，B(0,6,0)，结合A1P=12PB1，AQ=2QB，
可得P(3 32,32,3)，Q(3 33,92,0)，
所以AB=(0,6,0)，PQ=(0,3,−3)，
所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为|AB⋅PQ|AB||PQ||=186×3 2= 22．
故选：C．
建立空间直角坐标系，设AB=2AA1=6，根据已知得出AB=(0,6,0)，PQ=(0,3,−3)，即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案．
本题考查圆柱的结构特征、向量的夹角公式、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：f(x)=ex(2x−1)x−1，定义域为{x|x≠1}，
∴f′(x)=ex(2x2−3x)(x−1)2，
令f′(x)>0⇒x∈(−∞,0)∪(3,+∞)，
所以f(x)在(−∞,0)和(3,+∞)上单调递增，排除AD，
当x