2023-2024学年广东省茂名市信宜市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是一元一次不等式的是( )
A. x+1x>1B. 3x+2C. 2x>x−1D. x2−2y，下列不等式一定成立的是( )
A. x−62y+1
8.如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，那么CF的长是( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
9.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，点A(−1,4)在该函数的图象上，则不等式kx+b>4的解集为( )
A. x≥−1
B. x−1
10.某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得( )
A. 72x+60(40−x)≤2600B. 72x+60(40−x)1的最大整数解是______．
14.根据图中数据求阴影部分的面积和为______．
15.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD= ．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)−x+1>7x−3；
(2)x+17>x−5．
17.(本小题8分)
不等式(组)．
(1)x−53；
(2)x+12>17x−8ax+4的解集．
21.(本小题8分)
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD=8，CE=6，AB=20，求证：∠C=90°；
(2)若∠C=90°，AD=13，AE=6，求△ABC的面积．
23.(本小题9分)
(1)用“”或“=”填空：
52+32______2×5×3；
32+22______2×3×2．
(−3)2+22______2×(−3)×2；
(−4)2+(−4)2______2×(−4)×(−4)
(2)观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母a，b的式子表示上述规律吗？再换几个数试一试．
(3)运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性．
24.(本小题9分)
已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______DB(填“>”、“”、“1中1x不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、3x+2中不含有不等号，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、2x>x−1含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，故本选项符合题意；
D、x2−2y−6，原变形错误，不符合题意；
B、∵x>y，∴2x>2y，原变形错误，不符合题意；
C、∵x>y，∴−x2y，∴2x+1>2y+1，正确，符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，
∴BE=CF=2×2=4(cm)，
故选：A．
根据平移的性质可得BE=CF=2×2=4(cm)，即可求解．
本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由图象可得：当x4，
所以不等式kx+b>4的解集为x1，
−x>−3，
x7x−3，
移项、合并同类项，得：−8x>−4，
系数化为1，得：xx−5，
去分母，得：x+1>7(x−5)，
去括号，得：x+1>7x−35，
移项、合并同类项，得：−6x>−36，
系数化为1，得：x1．
【解析】(1)分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集；
(2)分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，△ABC即为所作，

点A坐标为(2,4)，点B坐标为(0,0)；
(2)S△ABC=4×4−12×1×2−12×4×3−12×4×2=5．
【解析】(1)根据平移规律画出三角形，再写出A、B两点的坐标即可；
(2)运用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形，能正确确定点A，B的坐标是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵∠ACB=∠BDA=90°，AB=BA，
∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定△ABC≌△BAD；
添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定△ABC≌△BAD．
证明：∵∠ACB=∠BDA=90°，
∴在Rt△ABC与Rt△BAD中AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
【解析】要使△ABC≌△BAD，已知∠ACB=∠BDA=90°，AB共边，则可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定；
或添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把(m,3)代入y=2x得，2m=3，
解得m=32，
∴点A的坐标为(32,3)，
∵函数y=ax+4的图象经过点A，
∴32a+4=3，
解得a=−23；
(2)∵两直线的交点为A(32,3)
由图象得，不等式2x>ax+4的解集为x>32．
【解析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
(1)首先把A(m,3)代入y=2x，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值，
(2)以交点为分界，结合图象写出不等式2x>ax+4的解集即可．
21.【答案】解：(1)设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，
根据题意得：8x+2y=9005x+4y=700，
解得x=100y=50，
答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(80−m)棵，
∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，
∴m≥32100m+50(80−m)≤5750，
解得32≤m≤35，
∵m是正整数，
∴m可取32，33，34，35，
∴有4种购买方案：
①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵，
②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵，
③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵，
④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵．
【解析】(1)设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元“可列出方程组解得答案．
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(80−m)棵，根据“购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元“，可列不等式组解得32≤m≤35，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组．
22.【答案】解：(1)∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8，CE=6，
∴AC=2CE=12，BC=2CD=16，
∵AB=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
(2)∵E是边AC的中点，AE=6，
∴AC=2AE=12．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=12，AD=13，
∴CD= AD2−AC2= 132−122=5，
∴BC=2CD=10，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×12×10=60．
【解析】(1)根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
(2)根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)52+32>2×5×3；
32+22>2×3×2．
(−3)2+22>2×(−3)×2；
(−4)2+(−4)2=2×(−4)×(−4)
(2)一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；
(3)∵(a−b)2≥0，
∴a2−2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab．
【解析】(1)通过计算可比较上述算式的大小；
(2)由于(a−b)2≥0，所以a2+b2≥2ab
(3)证明结论时根据完全平方的计算结果是非负数证明即可．
此题主要考查了实数的大小的比较数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为(a−b)2≥0，所以a2+b2≥2ab
24.【答案】(1)=；
(2)=;
解答过程如下：
AE=DB，理由如下，过点E作EF/​/BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°−∠D，∠ECF=60°−∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC(SAS)，
∴DB=EF，
则AE=DB；
(3)如图，CD=3．

【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
(1)由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，从而求解；
(2)AE=DB，理由如下，过点E作EF/​/BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△DBE≌△EFC，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；
(3)点E在AB延长线上时，可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】
解：(1)当E为AB的中点时，AE=DB；
理由如下：
当E为AB的中点时，易得AE=BE，∠ECB=30°，
又∵ED=EC，
∴∠D=30°，
∵∠EBC=∠D+∠DEB=60°，
∴∠DEB=∠D=30°，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
(2)见答案；
(3)点E在AB延长线上时，过点E作EF/​/BC，交AC的延长线于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BC/​/EF，
∴∠DCE=∠CEF，
∵DE=EC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠D=∠CEF，
∵∠DBE=∠ABC=60°，∠F=60°，
∴∠DBE=∠F，
在△DBE和△EFC中，
∠D=∠FEC∠DBE=∠FDE=EC,
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF=2，
又BC=1，
则CD=BC+DB=3．
当点E在BA的延长线上时，CB的延长线上无满足条件的点D．
综上，CD=3．