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2024年广东省汕头市澄海实验学校中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省汕头市澄海实验学校中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1B. x2−2xy=0C. x2+12x=3D. x2−2x+3=0
3.已知点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，则a+b的值为( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
4.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 24B. 16C. 7D. 0.2
5.下列运算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. (2 3)2=6C. 2+ 3= 5D. 2× 3= 6
6.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1
7.下列运算正确的是( )
A. m6÷m2=m3B. (2x+1)2=4x2+1
C. (−3m3)2=−9m6D. 2a3⋅a4=2a7
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=6，BC=8，AB=10，则CD的长为( )
A. 2.4
B. 3
C. 3.6
D. 4
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB=8cm，∠AOB=60°.点D从点O出发，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为( )
A. (3 3,5)B. (3,3 3)C. (5,3 3)D. (3 3,3)
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,−1)，点A在(−4,0)与(−3,0)之间(不包含这两点)，抛物线的顶点为D，对称轴是直线x=−2.有下列结论：①abc<0；②若点M(−32,y1)，N(−83,y2)是抛物线上两点，则y1>y2；③a>−13；④若a=−1，则△ABD是等边三角形．其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： 12 6= ______．
12.如图，m//n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=______°.
13.不等式组2x+13−2≥05−2(x+1)<0的解集是______．
14.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系式；折线B−C−D−表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系，则货车出发______小时与轿车相遇．
15.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：x2−2x−15=0．
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0.求证：方程总有两个实数根．
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1,0)，O(0,0)，B(2,2).以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
(1)画出△A1OB1，并写出点A1和点B1的坐标．
(2)求线段OB扫过的面积．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．
20.(本小题8分)
如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E.AC=BC．
(1)求证：CD=BE；
(2)若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
21.(本小题8分)
如图，B，C是反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x−1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)求△BCE的面积．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE//BD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE为⊙O的切线．
(2)求证：△ABC∽△CDE．
(3)若AB=3，AD=4，求线段DE的长．
23.(本小题8分)
如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且OB=OC=3，OA=1，OD=2，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得AE⊥AD．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：A、方程x+2y=1，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不合题意；
B、方程x2−2xy=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
C、方程x2+12x=3，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
D、方程x2−2x+3=0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，即可判断求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，
∴b=−1，a=−2，
a+b=−3，
故选：D．
根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
4.【答案】C
【解析】解：A． 24=2 6，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；
B. 16=4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；
C. 7是最简二次根式，故符合题意；
D. 0.2= 55，被开方数是小数，故不符合题意．
故选：C．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，
根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【解答】
解：A： (−2)2=2，故本选项错误；
B：(2 3)2=12，故本选项错误；
C： 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
故选：A．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.m6÷m2=m4，故本选项错误，不符合题意；
B.(2x+1)2=4x2+4x+1，故本选项错误，不符合题意；
C.(−3m3)2=9m6，故本选项错误，不符合题意；
D.2a3⋅a4=2a7，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
A.根据同底数幂的除法法则即可判断；B.根据完全平方公式即可判断；C.根据积的乘方运算法则即可判断；D.根据同底数幂的乘法法则即可判断．
本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：过D作DM⊥AB于M，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DM⊥AB，
∴CD=DM，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，
∵AC=6，BC=8，AB=10，DM=CD，
∴12×6×8=12×10×CD+12×6×CD，
解得：CD=3，
故选：B．
过D作DM⊥AB于M，根据角平分线的性质得出DM=CD，根据三角形的面积得出12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，再代入求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，
∴AO=AB=BC=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=BC=OC=8cm，
∵沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，
∴环绕一圈需要16秒，
∵85÷16=5⋅⋅⋅5，
∴点D在AB上，且AD=2cm，
∴BD=6cm，
如图，过点D作DH⊥OB于H，
∵∠ABO=60°，DH⊥OB，
∴∠BDH=30°，
∴BH=3cm，DH= 3BH=3 3cm，
∴OH=5cm，
∴点D(5,3 3)，
故选：C．
由题意可得点D在AB上，且AD=2cm，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵图象的开口向下，
∴a<0，
∵图象与y轴的交点为(0,−1)，
∴c=−1，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴−b2a=−2，
∴b=4a<0，
∴abc<0，
∴①符合题意，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴M关于对称轴的对称点为M′(−52,y1)，
∵当x<−2时，y随着x的增大而增大，且−83<−52，
∴y1>y2，
∴②符合题意，
由题意得：y=ax2+bx+c=ax2+4ax−1=a(x+2)2−4a−1，
∵当y=0时，较小的一个根为− 4+1a−2，
∴− 4+1a−2<−3，
解得a<−13，
∴③不合题意，
当a=−1时，抛物线的解析式为y=−(x+2)2+3，
∴D(−2,3)，
取y=0，得−(x+2)2+3=0，
解得x1=− 3−2，x2= 3−2，
∴A(− 3−2,0)，B( 3−2,0)，
∴AD=BD=AB=2 3，
∴△ABD是等边三角形，
∴④符合题意，
∴符合题意的有①②④，
故选：C．
根据二次函数的图象和性质即可作出判断．
本题主要二次函数的图形和性质，关键是要牢记二次函数解析中的系数对图象的影响，二次项系数影响图象的开口方向，a、b影响图象的对称轴位置，c影响图象与y轴的交点．
11.【答案】 2
【解析】解： 12 6= 126= 2
故答案为： 2．
运用二次根式的除法解题即可．
本题考查二次根式的除法，掌握二次根式除法的运算法则是解题的关键．
12.【答案】150
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，邻补角和三角形的内角和定理.根据两直线平行，同旁内角互补可得∠4的度数，再由邻补角互补和三角形内角和为180°即可得到答案．
【解答】
解：如图，
∵m//n，∠1=110°，
∴∠4=70°，
∵∠2=100°，
∴∠5=80°，
∴∠6=180°−∠4−∠5=30°，
∴∠3=180°−∠6=150°，
故答案为：150．
13.【答案】x≥52
【解析】解：解不等式2x+13−2≥0，得：x≥52，
解不等式5−2(x+1)<0，得：x>32，
∴不等式组的解集为x≥52，
故答案为：x≥52．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】3.9
【解析】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
将(5,300)代入，得：5k=300，
解得k=60，
即OA段对应的函数解析式为y=60x，
设CD段对应的函数解析式为y=ax+b，
2.5a+b=804.5a+b=300，
解得a=110b=−195，
即CD段对应的函数解析式为y=110x−195，
令110x−195=60x，得x=3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9．
根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】2 2
【解析】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2//CE且P1P2=12CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：P1P//CE且P1P=12CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，
∴BP1=2 2
∴PB的最小值是2 2．
故答案是：2 2．
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
16.【答案】解：x2−2x−15=0，
(x+3)(x−5)=0，
∴x+3=0或x−5=0，
∴x1=−3，x2=5．
【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：由题意可知Δ=(−m)2−4(m−1)=(m−2)2，
∵(m−2)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
【解析】根据一元二次方程根的判别式证明即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无实数根是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)画出△A1OB1，如图．
点A1(0,1)，点B1(−2,2)．
(2)OB1=OB= 22+22=2 2，
∴扇形BOB1面积=90π×(2 2)2360=2π，
∴线段OB扫过的面积2π．
【解析】(1)分别作出点A和点B绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再与点O首尾顺次连接即可得；由所得图形可得点的坐标；
(2)利用勾股定理可得OB长，再利用扇形面积公式求解即可．
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19.【答案】证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，
(2)∵△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=a，AD=CE=b，
∴DE=DC+CE=a+b，
∴S梯形ADEB=12(AD+BE)⋅DE=12(a+b)(a+b)，
∵S梯形ADEB=S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴(a+b)(a+b)2=ab2+c22+ab2，
化简得：a2+b2=c2．
【解析】(1)根据AAS可以证明结论成立；
(2)根据S梯形ADEB=S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)当y=0时，即x−1=0，
∴x=1，
即直线y=x−1与x轴交于点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为(2,3)，
而点C(2,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=6x；
(2)方程组y=x−1y=6x的正数解为x=3y=2，
∴点B的坐标为(3,2)，
当x=2时，y=2−1=1，
∴点E的坐标为(2,1)，即DE=1，
∴EC=3−1=2，
∴S△BCE=12×2×(3−2)=1，
答：△BCE的面积为1．
【解析】(1)根据直线y=x−1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
(2)求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
22.【答案】(1)证明：如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴BC=DC，
∴BC=DC；
∵BD为直径，
∴OB=OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD=90°，
∵BD//CE，
∴∠OCE=∠COD=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切，即CE为⊙O的切线；
(2)证明：∵BD//CE，
∴∠ADB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
(3)解：在Rt△ABD中，BD= AD2+AB2= 42+32=5，
在Rt△BCD中，BC=CD= 22BD= 22×5=5 22，
∵△ABC∽△DCE，
∴ABCD=BCDE，
∴35 22=5 22DE，
∴DE=256．
【解析】(1)如图：连接OC，先说明BC=DC，再说明OB=OD，进而说明∠COD=90°，再根据BD//CE可得∠OCE=∠COD=90°，即可证明结论；
(2)先根据平行线的性质和等量代换可得∠ACB=∠E，再根据圆的内接四边形的性质可得∠ABC=∠CDE，从而得到△ABC∽△DCE；
(3)由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BC、CD，再由三角形相似求出DE．
本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
23.【答案】解：(1)OB=OC=3, OA=1，
∴A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∵A、B、C三点在抛物线上，
∴a+b+c=09a+3a+c=0c=3，
解得a=1b=−4c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∵DA⊥EA，
∴∠DAE=90°，
∴∠DAO+∠EAF=90°，
∴∠DAO=∠AEF，
又∵∠EFA=∠AOD=90°，
∴△EFA∽△AOD，
∴EFAF=AOOD，
设E(a,a2−4a+3)，
∴AF=a−1，EF=a2−4a+3，
∵AO=1，OD=2，
∴a2−4a+3a−1=12，
解得a=72或a=1，
经检验，a=72是原方程的解，a=1是增根，
∴a=72，
∴a2−4a+3=54，
∴点E的坐标为(72,54)；
(3)由y=x2−4x+3=(x+2)2−1知，抛物线的对称轴为直线x=2，如图2，
设点P(2,t)，
∵A(1,0)，C(0,3)，
∴PC2=(2−0)2+(t−3)2=t2−6t+13，AP2=(2−1)2+(0−t)2=t2+1，AC2=(1−0)2+(3−0)2=10，
∵△ACP是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当PC=AP时，即PC2=AP2，
∴t2−6t+13=t2+1，
解得t=2，
∴点P的坐标为(2,2)；
②当PC=AC时，即PC2=AC2，
∴t2−6t+13=10，
解得t=3+ 6或t=3− 6
∴点P的坐标为(2,3+ 6)或(2,3− 6)；
③当AP=AC时，即AP2=AC2，
∴t2+1=10，
解得t=3或t=−3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2,−3)；
综上，点P的坐标为(2,2)或(2,3+ 6)或(2,3− 6)或(2,3)或(2,−3)．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入函数解析式，求出a，b，c的值即可；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a,a2−4a+3)，证明△EFA∽△AOD，得EFAF=AOOD，代入相关数据得a2−4a+3a−1=12，求出a的值，再进行判断即可；
(3)由y=x2−4x+3得对称轴为直线x=2，设P(2,t)，分PC=AC，PA=AC，PC=AP三种情况讨论求解即可．
本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合等知识以及等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
1.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1B. x2−2xy=0C. x2+12x=3D. x2−2x+3=0
3.已知点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，则a+b的值为( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
4.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 24B. 16C. 7D. 0.2
5.下列运算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. (2 3)2=6C. 2+ 3= 5D. 2× 3= 6
6.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1
7.下列运算正确的是( )
A. m6÷m2=m3B. (2x+1)2=4x2+1
C. (−3m3)2=−9m6D. 2a3⋅a4=2a7
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=6，BC=8，AB=10，则CD的长为( )
A. 2.4
B. 3
C. 3.6
D. 4
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB=8cm，∠AOB=60°.点D从点O出发，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为( )
A. (3 3,5)B. (3,3 3)C. (5,3 3)D. (3 3,3)
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,−1)，点A在(−4,0)与(−3,0)之间(不包含这两点)，抛物线的顶点为D，对称轴是直线x=−2.有下列结论：①abc<0；②若点M(−32,y1)，N(−83,y2)是抛物线上两点，则y1>y2；③a>−13；④若a=−1，则△ABD是等边三角形．其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： 12 6= ______．
12.如图，m//n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=______°.
13.不等式组2x+13−2≥05−2(x+1)<0的解集是______．
14.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系式；折线B−C−D−表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系，则货车出发______小时与轿车相遇．
15.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：x2−2x−15=0．
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0.求证：方程总有两个实数根．
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1,0)，O(0,0)，B(2,2).以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
(1)画出△A1OB1，并写出点A1和点B1的坐标．
(2)求线段OB扫过的面积．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．
20.(本小题8分)
如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E.AC=BC．
(1)求证：CD=BE；
(2)若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
21.(本小题8分)
如图，B，C是反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x−1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)求△BCE的面积．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE//BD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE为⊙O的切线．
(2)求证：△ABC∽△CDE．
(3)若AB=3，AD=4，求线段DE的长．
23.(本小题8分)
如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且OB=OC=3，OA=1，OD=2，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得AE⊥AD．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：A、方程x+2y=1，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不合题意；
B、方程x2−2xy=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
C、方程x2+12x=3，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
D、方程x2−2x+3=0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，即可判断求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，
∴b=−1，a=−2，
a+b=−3，
故选：D．
根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
4.【答案】C
【解析】解：A． 24=2 6，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；
B. 16=4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；
C. 7是最简二次根式，故符合题意；
D. 0.2= 55，被开方数是小数，故不符合题意．
故选：C．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，
根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【解答】
解：A： (−2)2=2，故本选项错误；
B：(2 3)2=12，故本选项错误；
C： 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
故选：A．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.m6÷m2=m4，故本选项错误，不符合题意；
B.(2x+1)2=4x2+4x+1，故本选项错误，不符合题意；
C.(−3m3)2=9m6，故本选项错误，不符合题意；
D.2a3⋅a4=2a7，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
A.根据同底数幂的除法法则即可判断；B.根据完全平方公式即可判断；C.根据积的乘方运算法则即可判断；D.根据同底数幂的乘法法则即可判断．
本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：过D作DM⊥AB于M，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DM⊥AB，
∴CD=DM，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，
∵AC=6，BC=8，AB=10，DM=CD，
∴12×6×8=12×10×CD+12×6×CD，
解得：CD=3，
故选：B．
过D作DM⊥AB于M，根据角平分线的性质得出DM=CD，根据三角形的面积得出12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，再代入求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，
∴AO=AB=BC=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=BC=OC=8cm，
∵沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，
∴环绕一圈需要16秒，
∵85÷16=5⋅⋅⋅5，
∴点D在AB上，且AD=2cm，
∴BD=6cm，
如图，过点D作DH⊥OB于H，
∵∠ABO=60°，DH⊥OB，
∴∠BDH=30°，
∴BH=3cm，DH= 3BH=3 3cm，
∴OH=5cm，
∴点D(5,3 3)，
故选：C．
由题意可得点D在AB上，且AD=2cm，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵图象的开口向下，
∴a<0，
∵图象与y轴的交点为(0,−1)，
∴c=−1，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴−b2a=−2，
∴b=4a<0，
∴abc<0，
∴①符合题意，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴M关于对称轴的对称点为M′(−52,y1)，
∵当x<−2时，y随着x的增大而增大，且−83<−52，
∴y1>y2，
∴②符合题意，
由题意得：y=ax2+bx+c=ax2+4ax−1=a(x+2)2−4a−1，
∵当y=0时，较小的一个根为− 4+1a−2，
∴− 4+1a−2<−3，
解得a<−13，
∴③不合题意，
当a=−1时，抛物线的解析式为y=−(x+2)2+3，
∴D(−2,3)，
取y=0，得−(x+2)2+3=0，
解得x1=− 3−2，x2= 3−2，
∴A(− 3−2,0)，B( 3−2,0)，
∴AD=BD=AB=2 3，
∴△ABD是等边三角形，
∴④符合题意，
∴符合题意的有①②④，
故选：C．
根据二次函数的图象和性质即可作出判断．
本题主要二次函数的图形和性质，关键是要牢记二次函数解析中的系数对图象的影响，二次项系数影响图象的开口方向，a、b影响图象的对称轴位置，c影响图象与y轴的交点．
11.【答案】 2
【解析】解： 12 6= 126= 2
故答案为： 2．
运用二次根式的除法解题即可．
本题考查二次根式的除法，掌握二次根式除法的运算法则是解题的关键．
12.【答案】150
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，邻补角和三角形的内角和定理.根据两直线平行，同旁内角互补可得∠4的度数，再由邻补角互补和三角形内角和为180°即可得到答案．
【解答】
解：如图，
∵m//n，∠1=110°，
∴∠4=70°，
∵∠2=100°，
∴∠5=80°，
∴∠6=180°−∠4−∠5=30°，
∴∠3=180°−∠6=150°，
故答案为：150．
13.【答案】x≥52
【解析】解：解不等式2x+13−2≥0，得：x≥52，
解不等式5−2(x+1)<0，得：x>32，
∴不等式组的解集为x≥52，
故答案为：x≥52．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】3.9
【解析】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
将(5,300)代入，得：5k=300，
解得k=60，
即OA段对应的函数解析式为y=60x，
设CD段对应的函数解析式为y=ax+b，
2.5a+b=804.5a+b=300，
解得a=110b=−195，
即CD段对应的函数解析式为y=110x−195，
令110x−195=60x，得x=3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9．
根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】2 2
【解析】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2//CE且P1P2=12CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：P1P//CE且P1P=12CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，
∴BP1=2 2
∴PB的最小值是2 2．
故答案是：2 2．
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
16.【答案】解：x2−2x−15=0，
(x+3)(x−5)=0，
∴x+3=0或x−5=0，
∴x1=−3，x2=5．
【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：由题意可知Δ=(−m)2−4(m−1)=(m−2)2，
∵(m−2)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
【解析】根据一元二次方程根的判别式证明即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无实数根是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)画出△A1OB1，如图．
点A1(0,1)，点B1(−2,2)．
(2)OB1=OB= 22+22=2 2，
∴扇形BOB1面积=90π×(2 2)2360=2π，
∴线段OB扫过的面积2π．
【解析】(1)分别作出点A和点B绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再与点O首尾顺次连接即可得；由所得图形可得点的坐标；
(2)利用勾股定理可得OB长，再利用扇形面积公式求解即可．
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19.【答案】证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，
(2)∵△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=a，AD=CE=b，
∴DE=DC+CE=a+b，
∴S梯形ADEB=12(AD+BE)⋅DE=12(a+b)(a+b)，
∵S梯形ADEB=S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴(a+b)(a+b)2=ab2+c22+ab2，
化简得：a2+b2=c2．
【解析】(1)根据AAS可以证明结论成立；
(2)根据S梯形ADEB=S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)当y=0时，即x−1=0，
∴x=1，
即直线y=x−1与x轴交于点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为(2,3)，
而点C(2,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=6x；
(2)方程组y=x−1y=6x的正数解为x=3y=2，
∴点B的坐标为(3,2)，
当x=2时，y=2−1=1，
∴点E的坐标为(2,1)，即DE=1，
∴EC=3−1=2，
∴S△BCE=12×2×(3−2)=1，
答：△BCE的面积为1．
【解析】(1)根据直线y=x−1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
(2)求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
22.【答案】(1)证明：如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴BC=DC，
∴BC=DC；
∵BD为直径，
∴OB=OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD=90°，
∵BD//CE，
∴∠OCE=∠COD=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切，即CE为⊙O的切线；
(2)证明：∵BD//CE，
∴∠ADB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
(3)解：在Rt△ABD中，BD= AD2+AB2= 42+32=5，
在Rt△BCD中，BC=CD= 22BD= 22×5=5 22，
∵△ABC∽△DCE，
∴ABCD=BCDE，
∴35 22=5 22DE，
∴DE=256．
【解析】(1)如图：连接OC，先说明BC=DC，再说明OB=OD，进而说明∠COD=90°，再根据BD//CE可得∠OCE=∠COD=90°，即可证明结论；
(2)先根据平行线的性质和等量代换可得∠ACB=∠E，再根据圆的内接四边形的性质可得∠ABC=∠CDE，从而得到△ABC∽△DCE；
(3)由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BC、CD，再由三角形相似求出DE．
本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
23.【答案】解：(1)OB=OC=3, OA=1，
∴A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∵A、B、C三点在抛物线上，
∴a+b+c=09a+3a+c=0c=3，
解得a=1b=−4c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∵DA⊥EA，
∴∠DAE=90°，
∴∠DAO+∠EAF=90°，
∴∠DAO=∠AEF，
又∵∠EFA=∠AOD=90°，
∴△EFA∽△AOD，
∴EFAF=AOOD，
设E(a,a2−4a+3)，
∴AF=a−1，EF=a2−4a+3，
∵AO=1，OD=2，
∴a2−4a+3a−1=12，
解得a=72或a=1，
经检验，a=72是原方程的解，a=1是增根，
∴a=72，
∴a2−4a+3=54，
∴点E的坐标为(72,54)；
(3)由y=x2−4x+3=(x+2)2−1知，抛物线的对称轴为直线x=2，如图2，
设点P(2,t)，
∵A(1,0)，C(0,3)，
∴PC2=(2−0)2+(t−3)2=t2−6t+13，AP2=(2−1)2+(0−t)2=t2+1，AC2=(1−0)2+(3−0)2=10，
∵△ACP是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当PC=AP时，即PC2=AP2，
∴t2−6t+13=t2+1，
解得t=2，
∴点P的坐标为(2,2)；
②当PC=AC时，即PC2=AC2，
∴t2−6t+13=10，
解得t=3+ 6或t=3− 6
∴点P的坐标为(2,3+ 6)或(2,3− 6)；
③当AP=AC时，即AP2=AC2，
∴t2+1=10，
解得t=3或t=−3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2,−3)；
综上，点P的坐标为(2,2)或(2,3+ 6)或(2,3− 6)或(2,3)或(2,−3)．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入函数解析式，求出a，b，c的值即可；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a,a2−4a+3)，证明△EFA∽△AOD，得EFAF=AOOD，代入相关数据得a2−4a+3a−1=12，求出a的值，再进行判断即可；
(3)由y=x2−4x+3得对称轴为直线x=2，设P(2,t)，分PC=AC，PA=AC，PC=AP三种情况讨论求解即可．
本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合等知识以及等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
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