2024年山东省聊城市高唐县部分学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省聊城市高唐县部分学校中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算22024×(−12)2023的结果为( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.“曙光4000A超级服务器”的峰值计算速度达到每秒8061000000000次，将这个数据精确到千亿位并用科学记数法表示为( )
A. 8.1×1012B. 8.06×1012C. 8.061×1012D. 8.0×1012
4.用小立方块搭成的几何体，从正面看到的图形和从上面看到的图形如图，问搭成这样的几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块.( )
A. 8，6B. 7，6C. 8，7D. 7，5
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. a⋅a2=a2C. (−2a2)3=−8a6D. a6÷a2=a3
6.如图，直线a/​/b，∠1=50°，∠B=60°，则∠2的度数为( )
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
7.2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代.寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约500km，乘高铁比开小轿车少用3.8h(假设两种出行方式的总路程相同)，高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是( )
A. 500x−3=3.8B. 5003x−500x=3.8C. 500x−5003x=3.8D. 5003x=3.8−500x
8.若点A(−3,a)，B(−1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=6x的图象上，则a，b，c的大小关系为( )
A. a9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中正确的是( )
①AB2=AP2+BP2；
②BP2=AP⋅BA；
③APBP= 5−12；
④BPAP= 5−12．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(−1,0)，每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2024的坐标为( )
A. (22023,22023 3)
B. (22023,0)
C. (22024,22024 3)
D. (−22023,0)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知1m−1n=1，则分式2m−mn−2nm+3mn−n的值为______．
12.如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为21cm，底面半径为7cm，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为______．
13.为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图).现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．
14.如图，将圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，过点O作半径OC⊥AB于点E，点P为圆上一点，则∠APC的度数为______．
15.在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(−2,4)，B(4,2)，若直线y=−kx−2与线段总有交点，则k的取值范围是______．
16.如图①，在菱形ABCD中，∠D=120°，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(12)−1−(2− 2024)0+4cs30°− 12；
(2)解不等式组2x+5>33x−4≤2，并将解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
贝壳粘贴画体现了人们欣赏美的情趣和想象力.已知购进A种贝壳粘贴画2幅和B种贝壳粘贴画3幅需650元；购进A种贝壳粘贴画3幅和B种贝壳粘贴画2幅需600元．
(1)求A，B两种贝壳粘贴画每幅的售价．
(2)某校社团为丰富学生的课余生活，现计划购买A，B两种贝壳粘贴画共30幅，若B种粘贴画的数量不低于A种粘贴画数量的4倍，求A种粘贴画数量的最大值．
(3)在(2)的条件下，因资金有限，社长和供应商商定，A种贝壳粘贴画每幅降价10元，B种贝壳粘贴画每幅在原价的基础上优惠10%，那么社长应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元？
19.(本小题8分)
为调查班级学生最喜爱的贺岁电影：A.《热辣滚烫》、B.《第二十一条》、C.《飞驰人生》、D.《熊出没逆转时空》.每名学生从中选择一种最喜欢的电影，班级就最喜欢的电影对学生进行了调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为______；
(3)本次调查中，在最喜欢《熊出没逆转时空》的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学，若从这四位同学中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB= 2，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．
(1)求BE的长；
(2)延长FE交DC的延长线于点G，求证：AFFG=EFAF．
21.(本小题9分)
“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：
请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD．
(参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325)
22.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线．
(2)当BD=6，sin∠F=35时，求EF的长．
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
(1)【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E.在同一直线上.填空：①线段BD，CE之间的数量关系为______；②∠BEC= ______°.
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上.请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
(3)【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2 7，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE= 3，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C：是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形，解答本题的关键是掌握它们的定义：中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．
2.【答案】A
【解析】解：22024×(−12)2023
=2×22023×(−12)2023
=2×(−12×2)2023
=2×(−1)2023
=2×(−1)
=−2．
故选：A．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：8061000000000精确到千亿位并用科学记数法表示为8.1×1012，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：如图，几何体最多需要3+2+2+1=8个小立方块，最少需要3+2+1+1=7个小立方块．
故选：C．
利用俯视图，写出最多，最少的情形的个数，可得结论．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
5.【答案】C
【解析】解：A.a2+a2=2a2，故不正确，不符合题意；
B.a⋅a2=a3，故不正确，不符合题意；
C.(−2a2)3=−8a6，正确，符合题意；
D.a6÷a2=a4，故不正确，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项分析即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD=∠1=50°，由三角形外角的性质即可求解．由平行线的性质推出∠BCD=∠1=50°，再根据∠2=∠B+∠BCD得出结论即可．
【解答】
解：∵直线a/​/b，
∴∠BCD=∠1=50°，
∴∠2=∠B+∠BCD=60°+50°=110°．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度是x km/h，
∴高铁的平均速度是3x km/h．
根据题意得：500x−5003x=3.8．
故选：C．
根据高铁及小轿车平均速度间的关系，可得出高铁的平均速度是3x km/h，利用实际=路程÷速度，结合乘高铁比开小轿车少用3.8h(假设两种出行方式的总路程相同)，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=6x中k>0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵−3<0，−1<0，
∴A(−3,a)，B(−1,b)位于第三象限，
∴a<0，b<0，
∵−3<−1<0，
∴0>a>b．
∵2>0，
∴点C(2,c)位于第一象限，
∴c>0，
∴b故选：B．
先根据反比例函数中k>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴APAB=BPAP= 5−12，
∴AP2=AB⋅BP，
∵AB=AP+BP，
∴AB2=(AP+BP)2=AP2+2AP⋅BP+BP2，
∴上列结论中正确的是：④，只有1个，
故选：A．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：因为A(−1,0)，
所以OA=1．
因为每次旋转60°，
所以每6次旋转360°．
因为2024÷6=337余2，
所以点A2024在射线OA2上．
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的2倍，
所以第2024次旋转所得三角形的边长为22024．
故点A2024的坐标为(22023,22023 3).
故选：A．
根据所给变换方式，发现点A1，A2，A3，…，的坐标变化规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现点A对应点坐标的变化规律是解题的关键．
11.【答案】−32．
【解析】解：∵1m−1n=1，
∴n−mmn=1，
∴n−m=mn，
∴m−n=−mn，
∴2m−mn−2nm+3mn−n=2(m−n)−mn(m−n)+3mn=−2mn−mn−mn+3mn=−3mn2mn=−32，
故答案为：−32．
将1m−1n=1变形为m−n=−mn，再将原式变形为2(m−n)−mn(m−n)+3mn，整体代入计算即可．
本题考查了分式的值，将1m−1n=1变形为m−n=−mn，将2m−mn−2nm+3mn−n变形为2(m−n)−mn(m−n)+3mn是正确解答的关键．
12.【答案】120°
【解析】解：设侧面展开扇形的圆心角为n°，则πrl=nπl2360，
∴n=rl×360°=721×360°=120°，
故答案为：120°．
设侧面展开扇形的圆心角为n°，则πrl=nπl2360，代入数据即可求解．
本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：设药物燃烧时y与x的函数关系式为y=kx(k>0)，
把(8,6)代入上式得，8k=6，
∴k=34，
∴y=34x(0≤x≤8)；
设药物燃烧完后y与x的函数关系式为y=k1x(k1>0)，
把(8,6)代入上式得，k18=6，
∴k1=48，
∴y=48x(x>8)，
当y=3时，34x=3，x=4；48x=3，x=16，
∴此次消毒的有效时间为16−4=12(分钟)，
故答案为：12．
首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y=3求出两个自变量的差即为有效时间．
本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，读懂题意求出函数解析式是解题的关键．
14.【答案】30°
【解析】解：连接OA，
由题意知AB垂直平分OC，
∴AO=AC，
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠APC=12∠AOC=30°．
故答案为：30°．
连接OA，由题意知AB垂直平分OC，得到AO=AC，判定△OAC是等边三角形，得到∠AOC=60°，由由圆周角定理得到∠APC=12∠AOC=30°．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，关键是由轴对称的性质推出△OAC是等边三角形．
15.【答案】k≤−1或k≥3
【解析】解：如图，直线y=−kx−2与y轴交于点C(0,−2)，
①当−k>0时，此时直线y=−kx−2过一、三、四象限，
把B(4,2)代入y=−kx−2得，−4k−2=2，
化简得：−k=1，
若直线y=−kx−2与线段AB在第一象限内的部分有交点，则−k≥1，即k≤−1；
②当−k<0时，此时直线y=−kx−2过二、三、四象限，
把A(−2,4)代入y=−kx−2得，2k−2=4，
化简得：−k=−3，
若直线y=−kx−2与线段AB在第二象限内的部分有交点，则−k≤−3，即k≥3；
综上所述，当直线y=kx−2(k≠0)与线段AB有交点，则k的取值范围为k≤−1或k≥3．
故答案为：k≤−1或k≥3．
直线y=−kx−2的图象过定点C(0,−2)，分两种情况进行解答，即−k>0，−k<0；让直线y=−kx−2过点A、点B时相应的k的值，再根据与线段AB有交点，确定k的取值范围．
本题主要考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，理解直线y=−kx−2与线段AB有交点的意义是解决问题的关键．
16.【答案】(43 3,2 3)
【解析】解：如图，连接BD，DE.DE、AC交于点P，BD、AC交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD．
∴B、D关于AC对称．
∴PB=PD．
∴y最小=PB+PE=PD+PE=DE．
观察函数图象可知，当点P与C重合时，PE+PB=6，
即CE+CB=6．
∵点E是AB的中点，
∴CE=12CB．
∴12CB+CB=6．
解得：CB=4．
∴CE=2．
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴CD=BC=4，AD/​/CB，
∴∠DCB=180°−120°=60°．
∴△BCD为等边三角形．
∴DB=DC．
∵点E是CB的中点，
∴DE⊥CB．
∴∠DEC=90°．
∴DE=2 3．
∴PB+PE的最小值为2 3，即点H的纵坐标为2 3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠PCB=12∠BCD=30°．
∴PC=DEcs∠PCB=2÷ 32=4 33．
∴图象上最低点H的坐标为：(43 3,2 3).
故答案为：(43 3,2 3).
求图象上最低点的坐标，那么此时PE与PB的长度之和最小．结合菱形的性质可知B、D关于AC对称，那么连接DE交AC于点P，进而可得y最小=PB+PE=PD+PE=DE；观察函数图象可知，当点P与C重合时，PE+PB=6，即CE+CB=6，根据点E是BC的中点可得BC=4，CE=2.易得△BCD为等边三角形，则在Rt△DCE中，利用勾股定理可得DE=2 3，即PB+PE的最小值为2 3，即可确定点H的纵坐标；在Rt△PCE中，根据30°余弦值可得PC的长，可得点H的横坐标，即可获得答案．
本题考查动点问题的函数图象；判断出图象的最低点的纵坐标是PE与PB的长度之和的最小值是解决本题的关键．用到的知识点为：平面内两点在某条直线的同旁，求这条直线上的一点，与平面内两点的距离之和最小，应作其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点和另一点的线段的长度即为这条直线上的一点与平面内两点的距离之和的最小值．
17.【答案】解：(1)原式=2−1+4× 32−2 3
=1+2 3−2 3
=1；
(2)解不等式2x+5>3得，x>−1，
解不等式3x−4≤2得，x≤2，
将解集表示在数轴上，如图所示，

所以不等式组的解集为−1【解析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)设1种贝壳粘贴画每幅的售价为x元，B种贝壳粘贴画每幅的售价为y元，则
2x+3y=6503x+2y=600，
解得x=100y=150，
答：A种贝壳粘贴画每幅的售价为100元，8种贝壳粘贴画每幅的售价为150元；
(2)设A种贝壳粘贴画数量为a幅，则B种贝壳粘贴画数量为(30−a)幅，
由题意得30−a≥4a，
解得a≤6，
∴A种粘贴画数量的最大值为6；
(3)设购买总费用为m元，
m=(100−10)a+150×(1−10%)(30−a)=−45a+4050，
∵−45<0．
随x的增大而减小，
∴当a=6时，y有最小值，最小值为−45×6+4050=3780，此时30−a=24
社长应该购买6幅4种贝壳粘贴画，24幅B种贝壳粘贴画，花费最少，最少费用是3780元．
【解析】(1)设.4种贝壳粘贴画每幅的售价为：元，8种贝壳粘贴画每幅的售价为y元，根据题意列得2x+3y=6503x+2y=600求解即可；
(2)设4种贝壳粘贴画数量为a幅，则B种贝壳粘贴画数量为(30−a)幅，列不等式30−a≥4a解答；
(3)设购买总费用为m元，列一次函数关系式，利用一次函数的性质求解，
此题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意列得方程，不等式及函数关系式是
解题的关键．
19.【答案】50 108°
【解析】解：(1)本次调查的学生共有：10÷20%=50(人)，
∴B组的人数为：50−20−10−15=5(人)，
故答案为：50；
补全统计图如下：
(2)“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为：360°×1550=108°，
故答案为：108°；
(3)画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴选出两人恰好是甲和乙的概率为212=16．
(1)由C的人数除以所占百分比求出本次调查的学生总人数，再用总人数减去其它组的人数求出B的人数，进而补全统计图即可；
(2)由360°乘以“D.《熊出没逆转时空》”所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ADAB=ABBE，
∵E是BC的中点，
∴BC=AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1；
(2)证明：∵AD/​/BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴EFAF=BFDF，
∵AB/​/CD，
∴△ABF∽△GDF，
∴BFDF=AFFG，
∴AFFG=BFDF=EFAF，
∴AFFG=EFAF．
【解析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1；
(2)通过证明△ADF∽△EBF，△ABF∽△GDF，可得AFFG=BFDF=EFAF．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21.【答案】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，

由题意得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，
设BG=AF=x米，
在Rt△DCF中，∠DCF=30°，CD=18米，
∴DF=12CD=9(米)，
在Rt△AFP中，∠PAF=45°，
∴PF=AF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△BPG中，∠GBP=18°，
∴GP=BG⋅tan18°≈0.325x(米)，
∵GP+PF=GF，
∴0.325x+x=53，
解得：x=40，
∴PF=40米，
∴PD=PF−DF=40−9=31(米)，
∴该通信塔的塔杆PD的高度为31米．
【解析】把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，根据题意可得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，设BG=AF=x米，然后在Rt△DCF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再分别在Rt△AFP和Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠3，
∴OC/​/BD，
∵CE⊥DE，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥CF，
∴CF/​/AD，
∴∠BAD=∠F，
∴sin∠BAD=sin∠F=BDAB=35，
∴AB=53BD=10，
∵OC=12AB=5，
∵OC⊥CF，OC=5，sin∠F=35，
∴sin∠F=OCOF=OCOC+BF=35，
解得BF=103，
∴sin∠F=BEBF=35，
∴BE=35BF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理看得：EF= BF2−BE2=83．
【解析】(1)连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC//DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
(2)连接AD.由已知条件易求AB的长，进而可求出BF，BE的长，再由勾股定理即可求出EF的长．
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质等知识点．解题的关键是正确地作出辅助线．
23.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
则−3a=−3，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B(3,0)、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x−3，

设点P(m,m2−2m−3)，则点H(m,m−3)，
则PH=m−3−m2+2m+3=−m2+3m，
则△PBC面积=12×OB×PH=32(−m2+3m)，
∵−32<0，
故函数有最大值，
此时m=32，
则点P(32,−154)；
(3)当∠QOP为直角时，
则点Q与点B重合，不符合题意；
当∠OPQ为直角时，
即OQ⊥BC，
则点P和点B或C重合，
故点P的坐标为：(3,0)或(0,−3)，
当Q和C重合时，也符合题意，则点P(2,−3)，
当∠OPQ为直角时，
如下图：设点P(x,y)，点Q(m,m−3)，
过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交过点Q和x轴的平行线于点M，

∵∠OPN+∠NOP=90°，∠OPN+∠QPM=90°，
∴∠OPN=∠QPM，
∵∠PNO=∠QMP，
∴△PNO≌△QMP(AAS)，
∴ON=PM且PN=MQ，
即−x=y+3−m且−y=m−x，
解得：x=2m−32y=−32，
当y=−32时，即y=x2−2x−3=−32，
解得：x=1− 102(不合题意的值已舍去)，
即点P(1− 102,−32)，
综上，点P的坐标为：(3,0)或(0,−3)或(2,−3)或(1− 102,−32).
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由△PBC面积=12×OB×PH，即可求解；
(3)当∠QOP为直角时，则点Q与点B重合，不符合题意；当∠OPQ为直角时，即OQ⊥BC，即可求解；当∠OPQ为直角时，证明△PNO≌△QMP(AAS)，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算，分类求解是解题的关键．
24.【答案】BD=CE 60
【解析】解：(1)①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180−60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD=CE．
②∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°；
故答案为：BD=CE；60；
(2)BD= 2CE，∠BEC=45°.证明如下：
∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∵AEAD=ACAB= 22
∴△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=180°−45°=135°，
∴∠BEC=135°−90°=45°，
∴BDCE=ADAE= 2
∴BD= 2CE；
(3)分两种情况：
情况一：如图1，由题意可知在直角△ABC和直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=60°，
AB=2 7AE= 3，
tan30°=AEDE= 3DE，
∴DE=3，
∵B，D，E共线，
∴△ABE为直角三角形，
由勾股定理得：BE= AB2−AE2= 28−3=5，
∴BD=BE−DE=5−3=2，
由(1)(2)得：△ABD∽△ACE，
.BDCE=ABAC=21，∠ABD=∠ACE，
∴CE=1；A，B，C，E四点共圆，
作CM⊥BE垂足为M，
∴∠MEC=∠BAC=60°，
在直角三角形MEC中，CE=1，∠MEC=60°，
∴CM= 32CE= 32，即点C到直线DE的距离为 32；
情况二：如图2，B，E，D共线时，
同理可得CM=2 3，即点C到直线DE的距离为2 3；
综上可得：C到直线DE的距离为 32或2 3．
(1)首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
(2)首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，DE=AE，∠ACB=∠AED=90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
(3)分两种情形：B，D，E共线，B，E，D共线，分别求解即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量数据
斜坡CD的坡角
30°
CD的长度
18米
AB的长度
53米
点A处测量的仰角
45°
点B处测量的俯角
18°