2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若向量AB=(0,1),CD=(m,−2),AB//CD，则m=( )
A. −1B. 2C. 1D. 0
2.已知a，b是夹角为120°的单位向量，则a⋅b=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
3.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为( )
A. 150B. 180C. 200D. 250
4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，3ED=2AD，则BE=( )
A. −56AB+16ACB. −16AB−56ACC. −56AB−16ACD. −16AB+56AC
5.在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为( )
A. 92B. 91C. 90D. 89
6.给出下列四个命题：①若|a|=0，则a=0；②若|a|=|b|，则a=b或a=−b；③若a/​/b，则|a|=|b|；④若a/​/b，b/​/c，则a/​/c，其中正确的命题有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.已知数据x1，x2，…，xn，t的平均数为t，方差为s12，数据x1，x2，…，xn的方差为s22，则( )
A. s12>s22B. s12=s22
C. s128.如图，△ABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC=3，则AO⋅BC=( )
A. 52
B. 32
C. 3
D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则( )
A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B. 环比涨跌幅的平均数为0.1%
C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55%
10.已知平面向量a=(1,1)，b=(−3,4)，则下列说法正确的是( )
A. cs〈a,b〉= 210
B. 若向量a+λb与向量a−λb共线，则λ=0
C. 与b共线的单位的量的坐标为(−35,45)
D. b在a方向上的投影向量为12a
11.在△ABC中，AB=8，AC=6，∠A=π3，O是△ABC的外接圆的圆心，M是角A的平分线和BC边的交点那么( )
A. BM：MC=4：3B. AM=24 37
C. △ABC的外接圆的面积为208π3D. AO=512AB+29AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个单位向量a，b满足|4a+b|= 13，则向量a，b的夹角为 ．
13.在△ABC中，AB=AC=2，C=π4，则BA|BA|⋅BC= ______．
14.如图，已知直线l1//l2，A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，平面内动点G满足GA+2GB+3GC=0，则△GBC面积的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
平面内给定三个向量a=(2,1),b=(−1,2)，c=(3,1)．
(1)求满足a=mb+nc的实数m和n；
(2)若(a+kc)⊥(2b−a)，求实数k．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A=2π3．
(1)若B=C，a=2 3，求c；
(2)若△ABC的面积为2 3，c=2，求a．
17.(本小题15分)
某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表：
(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
(2)根据以上图表数据，试求样本的中位数(保留一位小数)
(3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,b)，n=( 3csA,sinB)且m//n．
(1)求角A；
(2)若a=2 7，b=4，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB，AC于点D，E，设AD=mAB,AE=nAC，其中0(1)求1m+1n的值；
(2)求△ADE面积的最小值，并指出相应的m，n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意得m×1=0×(−2)，即m=0．
故选：D．
利用向量平行的坐标表示直接求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为a，b是夹角为120°的单位向量，
所以a⋅b=|a||b|cs120°=1×1×(−12)=−12．
故选：D．
由平面向量数量积的定义式计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意样本容量为n=30÷22+3+5=150．
故选：A．
直接由分层抽样的定义按比例计算即可．
本题主要考查分层抽样，属于基础题，
4.【答案】A
【解析】解：由3ED=2AD，可得2AE=ED，所以AE=13AD，
因为AD为BC边上的中线，可得AD=12(AB+AC)，所以AE=16(AB+AC)，
所以BE=AE−AB=16(AB+AC)−AB=−56AB+16AC．
故选：A．
可得AE=16(AB+AC)，结合BE=AE−AB，即可求解．
本题考查向量的线性运算，考查三角形法则，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意，总样本平均数为6002000×93+8002000×81+6002000×99=90．
故选：C．
利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解．
本题考查了分层抽样，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：①若|a|=0，则a=0，①错误；
②向量的模相等，方向不确定，未必是相等向量或相反向量，②错误；
③共线向量，模不一定相等，③错误；
④若b=0，则不一定成立，④错误．
故正确的命题有0个，
故选：A．
①若|a|=0，则a=0；②向量的模相等，方向不确定，未必是相反向量；③共线向量，模不一定相等；④若b=0，则不一定成立．
本题考查了零向量，向量的模，向量共线，相反向量等基本概念和应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平均数和方差，考查了方程思想，属于中档题．
分别求出方差s12，s22，通过比较判断即可．
【解答】
解：由x1+x2+…+xn+tn+1=t，得x1+x2+…+xn+t=t(n+1)，
所以x1+x2+…+xn=tn，所以x1+x2+…+xnn=t，
故两组数据的平均数都是t，
则s12=1n+1[(x1−t)2+(x2−t)2+…+(xn−t)2+(t−t)2]，
s22=1n[(x1−t)2+(x2−t)2+…+(xn−t)2]，
∵1n+1<1n，∴s12故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：已知△ABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC=3，
则AO⋅BC=AO⋅(AC−AB)=AO⋅AC−AO⋅AB=12AC2−12AB2=12×9−12×4=52，
故选：A．
已知△ABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC=3，则AO⋅BC=AO⋅(AC−AB)=AO⋅AC−AO⋅AB=12AC2−12AB2，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：选项A中：环比涨跌幅的极差为0.6%−(−0.2%)=0.8%，
同比涨跌幅的极差为2.8%−0.9%=1.9%，因为0.8%<1.9%，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的平均数为112×(0.4+0.6+0+0.4−0.2+0+0.5−0.1+0.3+0.1−0.2+0)×1100=112×1.8×1100=0.15%，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为(2.5%+2.5%)÷2=2.5%，所以D错误．
故选：AC．
根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解．
本题考查折线图、极差、平均数、方差、四分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=1×(−3)+1×4 12+12⋅ (−3)2+42= 210，故A正确；
对于B，若向量a+λb与向量a−λb共线，则存在实数μ使得a+λb=μ(a−λb)=μa−μλb，
所以μ=1λ=−λμ，解得λ=0，故B正确；
对于C，与b=(−3,4)共线的单位向量为±b|b|=±15b，即(−35,45)或(35,−45)，故C错误；
对于D，b在a方向上的投影向量a⋅b|a|×a|a|=1×(−3)+1×4 12+12⋅ 12+12a=12a，故D正确．
故选：ABD．
选项A，利用夹角公式即可直接求解；选项B，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D，利用投影向量的公式即可直接求解．
本题考查平面向量共线，投影向量的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意，BMMC=ABAC=86=43，故A正确；
对于B，在△ABC中，由余弦定理得BC= 64+36−2×8×6×csπ3=2 13，
结合A可知BM=8 137，
在△ABM中，由余弦定理得csπ6=AM2+64−(87 13)22×AM×8= 32，
解得AM=24 37，故B正确；
对于C，由正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R=2 13sinπ3=4 393，∴R=2 393，
则其外接圆面积为π×(2 393)2=523π，故C错误；
对于D，设AO=xAB+yAC，∵点O是△ABC的外心，结合平面向量数量积定义可知，
AO⋅AB=12AB2=32AO⋅AC=12AC2=18，∴(xAB+yAC)⋅AB=32(xAB+yAC)⋅AC=18，∴xAB2+yAB⋅AC=32xAB⋅AC+yAC2=18，
∵AB⋅AC=8×6×csπ3=24，
∴64x+24y=3224x+36y=18，解得x=512y=29，故D正确．
故选：ABD．
根据三角形角平分线的性质判断A；在△ABC中运用余弦定理求出BC，再在△ABM中用余弦定理求出AM，进而判断B；由正弦定理求出处接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断C；利用向量数量积公式判断D．
本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理、三角形平分线的性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】120°
【解析】【分析】
本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．
根据题意，设向量a，b的夹角为θ，由数量积的运算性质可得16a2+b2+8a⋅b=17+8csθ=13，求出csθ的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量a，b的夹角为θ，
若|4a+b|= 13，两边平方可得16a2+b2+8a⋅b=17+8csθ=13，
解可得csθ=−12，
又由0°≤θ≤180°，故θ=120°，
故答案为120°．
13.【答案】2
【解析】解：∵AB=AC=2，C=π4，
∴B=C=π4，A=π2，
∴|BC|=2 2，
∴BA|BA|⋅BC=BA⋅BC|BA|=|BC|csB=2 2× 22=2．
故答案为：2．
根据长度和夹角关系，结合向量数量积定义直接求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
14.【答案】13
【解析】解：由GA+2GB+3GC=0，得GA+GC+2GB+2GC=0，
取AC的中点M，BC的中点N，有GM+2GN=0，
则S△GBC=13S△MBC=13×12S△ABC=16S△ABC，
设∠BAD=θ(0<θ<π2)，由于DE⊥l1，DE⊥l2，而AC⊥AB，
则∠EAC=π2−θ，由AD=2，AE=1，得AB=2csθ,AC=1sinθ，
则S△ABC=12AB⋅AC=22csθsinθ=2sin2θ≥2，
当且仅当2θ=π2，即θ=π4时取等号，
此时△GCB的面积的最小值为16S△ABC=13．
故答案为：13．
取AC的中点M，BC的中点N，先由平面向量运算得到GM+2GN=0；表示出S△GBC=13S△MBC=13×12S△ABC=16S△ABC，再由几何关系AB=2csθ,AC=1sinθ，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值．
本题考查平面向量基本定理与解三角形的综合应用，属中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意，向量a=(2,1),b=(−1,2)，c=(3,1)．
由于a=mb+nc，则(2,1)=m(−1,2)+n(3,1)，
则有2=−m+3n1=2m+n，解得m=17n=57，
故m=17,n=57．
(2)根据题意，a+kc=(2+3k,1+k),2b−a=(−4,3)，
因为(a+kc)⊥(2b−a)，
所以(a+kc)⋅(2b−a)=−4(2+3k)+3(1+k)=0，
解得k=−59，
故k=−59．
【解析】(1)根据题意，由向量的坐标计算公式分析可得关于m、n的方程，解可得答案；
(2)根据题意，求出a+kc和2b−a的坐标，由向量数量积的坐标计算公式可得关于k的方程，解可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为A=2π3，B=C，所以B=C=π6，
由正弦定理asinA=csinC，可得c=2；
(2)因为△ABC的面积为2 3，
所以12bcsinA=2 3，因为A=2π3，c=2，
所以 32b=2 3，解得b=4，
由余弦定理可得a2=16+4−2×4×2cs2π3=28，即a=2 7．
【解析】(1)先求出角C，结合正弦定理可得答案；(2)先利用面积求出b，结合余弦定理可得答案
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：
(2)由频率分布直方图得：
[10,25)的频率为：(0.02+0.024+0.026)×5=0.35，
[25,30)的频率为0.036×5=0.18，
设样本的中位数为x，
则0.35+(x−25)×0.036=0.5，解得x≈29.2．
∴样本的中位数约为29.2．
(3)依题意知休闲跑者共有：(5×0.02+5×0.024)×1000=220人，
核心跑者共有：(5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030)×1000=680人，
精英跑者共有：1000−220−680=100人，
∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：
11000(220×2500+680×4000+100×4500)=3720(元)．
【解析】(1)由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．
(2)由频率分布直方图能求出样本的中位数．
(3)分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．
本题考查频率分布直方图的作法，考查样本的中位数、平均数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为向量m=(a,b)，n=( 3csA,sinB)且m//n，
所以asinB− 3bcsA=0，
由正弦定理可知：sinAsinB− 3sinBcsA=0，
又B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以sinA− 3csA=0，
则tanA= 3，
又A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)因为a=2 7，b=4，A=π3，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，可得28=16+c2−4c，
解得c=6或c=−2(舍)，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×4×6× 32=6 3．
【解析】(1)根据向量平行得到asinB− 3bcsA=0，利用正弦定理化简得到答案．
(2)利用余弦定理计算得到c=6，再计算面积即可．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)延长AG交BC与F，由G是正三角形ABC的中心，得F为BC的中点，

则AG=23AF，由AF=12AB+12AC，AD=mAB,AE=nAC，
得AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，
所以13m+13n=1，即1m+1n=3；
(2)△ABC是边长为1的正三角形，则|AD|=m，|AE|=n，
S△ADE=12⋅m⋅n⋅ 32= 34mn，
由1m+1n=3，则n=m3m−1，
0S△ADE= 34mn= 34⋅m23m−1= 312⋅m2m−13，
设t=m−13，则m=t+13(16≤t≤23)，
则S△ADE= 312(t+19t+23)≥ 312(2 t⋅19t+23)= 39，
当且仅当t=19t，即t=13时取等号，
所以当t=13，即m=n=23时，S△ADE取得最小值 39．
【解析】(1)由正三角形ABC的中心的性质，有AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，所以1m+1n=3；
(2)△ADE面积表示为m的函数，通过换元和基本不等式，求最小值．
本题考查平面向量基本定理，考查基本不等式的应用，属中档题．周跑量
(km/周)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
[50,55)
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格(单位：元)
2500
4000
4500