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2024年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2024年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力.下列成语描述的事件属于随机事件的是( )
A. 守株待兔B. 竹篮打水C. 画饼充饥D. 瓜熟蒂落
4.下列计算正确的是( )
A. a6b÷a−2=ba3B. (2a−b)2=4a2−b2
C. (−2ab2)3=−6a3b6D. a−6b4÷(−a−5b4)=−1a
5.由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
6.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图所示，则函数y=x2+bx−k−1的图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是( )
A. 920
B. 35
C. 310
D. 25
8.已知5a=2b=10，则代数式a+bab的值为( )
A. 15B. 12C. 1D. 2
9.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−8,0)，点B坐标为(0,6)，⊙O的半径为4(O为坐标原点)，点C是⊙O上一动点，过点B作直线AC的垂线BP，P为垂足，点C在⊙O上运动一周，则点P运动的路径长等于( )
A. 23π
B. 53π
C. 83π
D. 103π
10.从正整数里取出k个不同的数，使得这k个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k的最大值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写一个图象经过第一、二、四象限的一次函数表达式______．
12.杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______．
13.图①是一台笔记本电脑实物图，如图②，当笔记本电脑的张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，当笔记本电脑的张角∠A′OB=108°时，顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为______cm.(A的对应点是点A′，OA′=OA)(参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，结果精确到1cm)
14.饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示).那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃.
15.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根是 5和1− 5；④m+n>103.其中，正确的结论是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求满足不等式组5x+1>3(x−1)；①12x−1≤7−32x.②的负整数解．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，DF//AC．
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC=90°，且AD=2，直接写出四边形AFDE的面积．
19.(本小题8分)
为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如表和如图所示：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)直接写出m，n的值；
(2)上述样本数据的中位数为______；
(3)全校有八年级学生1350人，估计捐款金额超过15元(不含15元)的有多少人？
20.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，DA，DC是⊙O的切线，切点分别为A，C．
(1)求证：△ABC∽△DAC；
(2)连接OD，与AC交于点P，连接BP，BD，若CDBC=34，求BPBD的值．
21.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，D是AB上一点，先画出点B关于AC的对称点B1，再过点D作直线DE，使得DE//BC交AC于点E；
(2)在图2中，先在AC上画点M，使tan∠ABM=35，再在AM上画点N，连接BN，使得S△ABN=23S△ABM．
22.(本小题10分)
问题提出
在2024年中考即将到来之际，学校准备开展“百日誓师，指战中考”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y=ax2−45x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
(1)建立模型如图2，直接写出两墙AB、CD的高度，抛物线的顶点坐标；
解决问题
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2≤n≤94时，求m的取值范围．
23.(本小题10分)
在正方形ABCD中，E为正方形内部的一点，AE=AB，连接BE．
图形介绍如图1，若∠EAB=30°，连接CE、DE，求证：BE=CE；
图形研究将△ABE绕点E逆时针旋转至△GFE，连接BG．
(1)如图2，连接CE、CF，若∠EAB=30°，∠CEF=60°，试判断四边形CBGF的形状，并说明理由；
(2)如图3，若点B在△AEG内部且∠GEB=∠GAB，求∠BGA的度数．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=12(x+m)(x−2)交x轴于A、B两点，交y轴于C点，D在第三象限内的抛物线上，连CD、BD，BD交y轴于F，CD//AB时，2DF=3BF．
(1)如图1，求该抛物线的解析式；
(2)如图2，P是抛物线第三象限一个动点，过P作y轴的垂线，垂足为H，连接PB交y轴于点E，设P点横坐标为t，△CPE的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在第(2)问的条件下，如图3，点M在线段PH上，且∠OCM=2∠PBO，HE：CM=3：5，求P点坐标及相应S的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3.【答案】A
【解析】解：A、守株待兔，是随机事件，故A符合题意；
B、竹篮打水，是不可能事件，故B不符合题意；
C、画饼充饥，是不可能事件，故C不符合题意；
D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：a6b÷a−2=a8b，故选项A错误，不符合题意；
(2a−b)2=4a2−4ab+b2，故选项B错误，不符合题意；
(−2ab2)3=−8a3b6，故选项C错误，不符合题意；
a−6b4÷(−a−5b4)=−1a，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据主视图的特点，拿走③不会变化，
根据左视图的特点，拿走①③④都不会变化，
综合来看，拿走③得到几何体的主视图与左视图均没有变化，
故选：C．
根据主视图和左视图的特点，即可得出结果．
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
反比例函数图象与一次函数图象的一个交点横坐标为−1，
所以x=−1是方程kx=x+b的一个解，
则将x=−1代入x2+bx−k=0得，
1−b−k=0．
将x=−1代入y=x2+bx−k−1得，
y=1−b−k−1=−1，
即函数y=x2+bx−k−1的图象经过点(−1,−1)．
显然四个选项只有C选项符合题意．
故选：C．
根据两个函数图象的交点横坐标，得出x=−1是方程kx=x+b的一个解，再利用整体思想即可解决问题．
本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象，熟知一元二次方程与二次函数之间的关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形的个数有20，恰好是等腰三角形的有8个，
故所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是820=25，
故选D．
画出图形，求出三角形的个数和等腰三角形的个数，即可得到结论．
本题考查了概率公式，正确地求得三角形和等腰三角形的个数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵5a=2b=10，
∴(5a)b=5ab=10b，(2b)a=2ab=10a，
∴5ab⋅2ab=10ab=10a+b，
∴a+b=ab，
∴a+bab=1．
故选：C．
分别将5a=10和2b=10的两边b次方、a次方，得5ab=10b和2ab=10a，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得5ab⋅2ab=10ab=10a+b，从而得到a+b=ab，计算a+bab即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点A坐标为(−8,0)，点B坐标为(0,6)．
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2=10，
∵BP⊥AC，即∠APB=90°，
∴P在已AB为直径的圆弧上，当AC、AC′与⊙O相切时，即OC⊥AC，
sin∠OAC=OCOA=12，
∴∠OAC=30°，
∴∠C′AC=60°，
∴PP′的弧度=120°，
∴点P运动的路径长=120π×5180=10π3．
故选：D．
由连接AB，由∠APB=90°可知P在已AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆O相切时，此时是点P运动路径的两端点，再由解三角形求出∠PAP度数，即可得出点P运动路径PP′的度数，从而求解．
本题考查轨迹，坐标与图形的性质，解题的关键是正确运用相关知识．
10.【答案】B
【解析】解：显然4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k的最大值≥4，
若k≥5，记第n个数为an(n为正整数)，不妨设a1分情形讨论如下：
(1)若a1为奇数，a2为奇数，于是|a1−a2|=a2−a1为偶数，
又a2−a1为质数，
故a2−a1=2，即a2=a1+2；
若a3为奇数，又a3≠a2，
故a3−a1为不等于2的偶数，
即a3−a1为不小于4的偶数，
即a3−a1为合数，矛盾．
故a3为偶数，a4也只能为偶数，
那么，若a5为奇数，
则a5−a1>a3−a1≥2为偶数，
即a5−a1为不小于4的偶数，
从而a5−a1为合数，矛盾；
若a5为偶数，则a5−a3>a4−a3≥2为偶数，
从而a5−a3为合数，矛盾；
(2)a1为奇数，a2为偶数，
于是a2−a1为奇数，即a2−a1≥3，
若a3为奇数，则a3−a1>a2−a1≥3为偶数，
故a3−a1为合数，矛盾，
所以a3为偶数，且a3>a2，
若a4为奇数，则a4−a1>a3−a1>3为不小于4的偶数，即a4−a1为合数，矛盾；
若a4为偶数，则a4−a2>a3−a2>2为不小于4的偶数，即a4−a2为合数，矛盾；
(3)a1为偶数，a2为奇数或偶数，都类似于(1)，(2)可导致矛盾，
综上，所求k的最大值是4，
故选：B．
根据绝对值的定义，结合质数，合数的概念进行判断即可．
本题考查数字变化类规律，解答中涉及绝对值，质数，合数，掌握绝对值的定义是关键．
11.【答案】y=−x+1
【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴当k=−1，b=1时，一次函数解析式为y=−x+1．
故答案为y=−x+1．
利用设一次函数解析式为y=kx+b，利用一次函数的性质得到k<0，b>0，然后写出一组满足条件的k、b的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y=kx+b，然后利用一次函数的性质确定满足条件的k、b的值．
12.【答案】1.058×108
【解析】解：105800000用科学记数法表示为1.058×108．
故答案为：1.058×108．
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】21
【解析】解：∵∠AOB=150°，
∴∠AOC=180°−∠AOB=30°，
在Rt△ACO中，AC=11cm，
AO=2AC=22(cm)，
由题意得：
AO=A′O=22cm，
∵∠A′OB=108°，
∴∠A′OD=180°−∠A′OB=72°，
在Rt△A′DO中，A′D=A′O⋅sin72°≈22×0.95≈21(cm)．
故答案为：21．
利用平角定义先求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】50
【解析】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得b=208k+b=100，
解得：k=10b=20，
故此函数解析式为：y=10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：y=mx，
依据题意，得：100=m8，
解得：m=800，
∴y=800x，
当y=20时，20=800x，
解得：t=x=40，
∵56−40=16>8，
∴当x=16时，y=80016=50．
故答案为：50．
根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点(8,100)，利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y=20代入该函数关系式中求出x值即可，由56−40=16>8，将x=16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
15.【答案】①③④
【解析】解：∵抛物线经过(0,−1)，(1,−1)，
∴抛物线对称轴为直线x=12，c=−1
∵x=0时，y<0，x=−12时y>0，
∴x<12时，y随x增大而减小，即图象开口向上，
∴a>0，
∵−b2a=12，
∴b=−a<0，
∴abc>0，①正确．
∵x>12时，y随x增大而增大，
∴x>1时，y随x增大而增大，
∴②错误．
∵抛物线经过( 5,t)，抛物线的对称轴为直线x=12，
∴抛物线经过点(1− 5,t)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根是 5和1− 5，③正确．
∵b=−a，c=−1，
∴y=ax2−ax−1，
当x=−12时，y=14a+12a−1>0，
∴a>43．
当x=−1时，m=2a−1，当x=2时，n=2a−1，
∴m+n=4a−2>103，④正确．
故答案为：①③④．
由抛物线经过(0,−1)，(1,−1)可得抛物线对称轴为−b2a=12，c=−1，再根据x=−12时，y>0可判断a与b的符号，进而判断①②，由抛物线的对称性可得抛③物线经过点(1− 5,t)，从而判断③，由x=−12时，y>0可判断a的取值范围，进而判断④．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
16.【答案】4825
【解析】解：设BF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠BAD=90°，AD=BC=4，AD//CB，
∵AB=3，
∴AF= BF2+AB2= x2+9，BD= AB2+AD2= 32+42=5，
∵AD//BF，
∴AGGF=DGGB=ADBF=4x，
∴AG=4x+4⋅ x2+9，DG=4x+4×5=20x+4，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠ABF=90°，
∴A，B，F，E四点共圆，
∴∠FAE=∠FBE，
∵∠ADB=∠FBD，
∴∠GAE=∠ADG，
∵∠AGE=∠AGD，
∴△AGE∽△DGA，
∴AGDG=GEAG，
∴AG2=GE⋅GD，
∴EG=AG2DG=4(x2+9)5(x+4)，
令EG=y，
则有5yx+20y=4x2+36，
∴4x2−5yx+36−20y=0，
由题意(5y)2−4×4×(36−20y)≥0，
∴25y2+320y−16×36≥0，
∴(5y−8)(5y+72)≥0，
解得y≥85或y≤−725，
∴EG的最小值为85，
过点A作AH⊥BD于点H.如图1，
∵12⋅BD⋅AH=12⋅AB⋅AD，
∴AH=3×45=125，
∴△AEG的面积的最小值为12×85×125=4825．
解法二：如图2，作△AEG的外接圆O，过点A作AH⊥BD一点H，过点O作OM⊥BD于点M，连接OE，OG．
由题意∠GOM=∠EOM=∠EAG=∠DBC，
∴tan∠GOM=tan∠DBC=34，
设GM=3m，OM=4m，则GE=6m，OA=OG=5m，
∵OA+OM≥AH，
∴5m+4m≥125，
∴m≥415，
GE=6m≥85，
∴S△AEG=12⋅AH⋅EG≥4825，
∴△AEG的面积的最小值为4825．
故答案为：4825．
设BF=x.想办法用x表示出EG，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出EG的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：5x+1>3(x−1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①，得：x>−2，
解不等式②，得：x≤4，
∴该不等式组的解集为−2∴该不等式组的负整数解是−1．
【解析】先解出每个不等式，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
(2)∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=2，
∴AF=DF=DE=AE=2 2= 2，
∴四边形AFDE的面积为 2× 2=2．
【解析】(1)根据DE//AB，DF//AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
19.【答案】15元
【解析】解：(1)被调查的总人数为8÷16%=50(人)，
则m=50−(8+14+6+4)=18，
∴n%=1850×100%=36%，即n=36；
(2)上述样本数据的中位数为15+152=15(元)，
故答案为：15元；
(3)1350×6+450=270(人)，
答：估计捐款金额超过15元(不含15元)的约有270人．
(1)先根据捐款5元的人数及其所占百分比求出总人数，继而可得m、n的值；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中捐款金额超过15元(不含15元)的人数所占比例即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】(1)证明：连接AO并延长交BC于点E，
，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴AE⊥AD，DA=DC，
∴AD//BC，∠DAC=∠DCA．
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
即∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC；
(2)过点P作PF⊥BC，交BC于点F，过D作DM⊥BC，交BC延长线于点M，
，
∵△ABC∽△DAC，
∴ACDC=BCAC，
∵CDBC=34，
∴设CD=3x，则BC=4x，AB=AC=2 3x，AD=3x，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OD垂直平分AC，即P是AC的中点，
∴PA=PC= 3x，
∵DM⊥BC，AE⊥AD，AE⊥BC，
∴∠DME=∠DAE=∠AEM=90°，
∴四边形AEMD是矩形，
∴EM=AD=3x，AE=DM，
∵AC2=AE2+EC2，DC2=DM2+CM2，
∴AC2−EC2=CD2−CM2，
∴CM=x，EC=2x，
∴DM=AE= AC2−EC2=2 2x，
∵AE⊥BC，AB=AC，
∴BE=EC=2x，
∴BM=5x，
∴BD= DM2+BM2= 33x，
∵PF⊥BC，
∴∠PFC=90°=∠AEC，
∵∠PCF=∠ACE，
∴△PCF∽△ACE，
∴AEPF=ECFC=ACAP，
∵P是AC的中点，
∴AC=2AP，即EC=2FC，AE=2PF，
∴FC=x，BF=3x，PF= 2x，
∴BP= PF2+BF2= 11x，
∴BPBD= 1133= 33，
故答案为： 33．
【解析】(1)连接AO并延长交BC与点E，由垂径定理可得AE⊥BC，再由切线的性质即可得AD//BC，根据平行线、三角形的性质得出∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，即可得证；
(2)因为△ABC∽△DAC，所以ACDC=BCAC，已知CDBC=34，设CD=3x，可得BC、AB、AC、AD的长，因为DA，DC是⊙O的切线，所以OD垂直平分AC，即P是AC的中点，可得PA、PC的长，因为DM⊥BC，AE⊥AD，AE⊥BC，所以∠DME=∠DAE=∠AEM=90°，可得四边形AEMD是矩形，EM、AE=DM，因为AC2=AE2+EC2，DC2=DM2+CM2，可得CM、EC、DM、AE的长，因为AE⊥BC，AB=AC，可得BE、EC、BM的长，由勾股定理可得BD的长，因为PF⊥BC，所以∠PFC=90°=∠AEC，因为∠PCF=∠ACE，可得△PCF∽△ACE，所以AEPF=ECFC=ACAP，因为P是AC的中点，所以AC=2AP，即EC=2FC，AE=2PF，可得FC、BF、PF的长，由勾股定理求得BP的长，可得BPBD的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．
21.【答案】解：(1)如图1，点B1，直线DE即为所求；
(2)如图2，点M，N即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质找到点B1，连接B1D交AC于点T，作直线BT交AB1于点W，作直线DW交AC于点E，则点B1，直线DE即为所求；
(2)取格点P，Q，R，连接AR，PQ交于点S，连接BS交AC于点M，点M即为所求；另AB为一条对角线作平行四边形AMBL，取AL上的一个三等分点J，BM延长线上一点K，M=LJ，连接JK交AM于点N，则N即为所求．
本题考查网格作图，解答中涉及相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为x=4，
则x=4=−b2a=−452a，
解得：a=0.1；
则抛物线的表达式为：y=0.1x−0.8x+3，
则点A(0,3)，即AB=CD=3(米)，
当x=4时，y=0.1x2−0.8x+3=1.4，
即顶点坐标为：(4,1.4)；
(2)设抛物线的表达式为：y=a′(x−2)2+2，
将点A的坐标代入上式得：3=a′(0−2)2+2，
解得：a′=14，
则抛物线的表达式为：y=14(x−2)2+2，
当x=3时，y=14(x−2)2+2=2.25(米)，
即点M到地面的距离为2.25米；
(3)由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：12(m+8)=4+12m，
则抛物线的表达式为：y=15(x−4−12m)2+n，
将点C的坐标代入上式得：3=15(8−4−12m)2+n，
整理得：n=−120m2+45m−15；
当n=2时，即2=−120m2+45m−15，
解得：m=8−2 5(不合题意的值已舍去)；
当n=94时，
同理可得：m=8− 15，
故m的取值范围为：8−2 5≤m≤8− 15．
【解析】(1)由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(2)由待定系数法求出函数表达式，当x=3时，y=14(x−2)2+2=2.25，即可求解；
(3)设出抛物线的表达式为：y=15(x−3−12m)2+n，将点C的坐标代入上式得：3=15(8−3−12m)2+n，得到n=−120m2+45m−15，进而求解．
本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
23.【答案】图形介绍：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=90°，
∵∠EAB=30°，
∴∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠ADE=30°，
∴DE=CD，∠CDE=30°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE；
图形研究：(1)四边形CBGF是平行四边形，理由如下：
由旋转可知，AB=GF，AE=EG，BE=EF，∠EAB=∠EGF=30°，
又∵BE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠CEF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
又∵AB=BC，AB=GF，
∴BC=GF=GE，
在△ABE中，AB=AE，∠EAB=30°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠GEF=75°，∠CBE=15°，
∵BE=CE，
∴∠CBE=∠BCE=15°，
∴∠CEB=150°，
∴∠GEB=∠BEC−∠CEF−∠GEF=150°−60°−75°=15°，
在△BCE与△EGB中，
BE=EB∠CBE=∠GEBBC=EG，
∴△BCE≌△EGB(SAS)，
∴CE=BG，
∴CF=BG，
在四边形CBGF中，CF=BG，BC=GF，
∴四边形CBGF为平行四边形；
(2)解：在△ABE与△AEG中，
∠EAB+∠AEB+∠ABE=180°，∠EAB+∠AEB+∠GEB+∠GAB+∠AGE=180°，
又∵∠GEB=∠GAB，
∴2∠GAB+∠AGE=∠ABE=75°，
∵AE=EG，
∴∠EAG=∠AGE，
即∠GAB+30°=∠AGE，
∴3∠GAB+30°=75°，
∴∠GAB=∠GEB=15°，
∵△BCE≌△EGB，△EGB为等腰三角形，
∴∠BGE=15°，
∴∠BGA=∠AGE−∠BGE=30°．
【解析】图形介绍：根据正方形的性质找出相等的边，再根据角度关系推出△ADE为等边三角形，最后判定△ABE≌△DCE即可证明结论；
图形研究：(1)先推出BC=GF，再根据已知条件求出∠GEB的大小，判定△BCE≌△EGB后得到CF=BG，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定结论；
(2)根据三角形内角和定理推出各角之间的关系，求出∠GEB的度数后根据①的结论可以求出∠BGE的度数，即可求出∠BGA的度数．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=0，可得，x=−m或m=2，
∴B(2,0)，A(−m,0)，
令x=0，可得：y=−m，
∴C(0,−m)，
∵CD//AB，2DF=3BF，
∴OB：CD=BF：DF=2：3，
∴CD=3，
∴抛物线的对称轴直线为x=−32，
即2−m2=−32，
∴m=5，
∴抛物线的解析式为：y=12x2+32x−2；
(2)∵m=5，
∴A(−5,0)，B(2,0)，C(0,−5)，
∵P在抛物线上，且P的横坐标为t，
∴P的纵坐标为12t2+32t−5，
设PB的表达式为：y=kx+b，
∴0=2k+b12t2+32t−5=kt+b，
解得：k=t+52，b=−t−5，
∴E(0,−t−5)，
∴EC=−t−5+5=−t，
∴S=12×(−t)×(−t)=12t2；
(3)过点E作CE垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线于F，过F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，如图：
∵HP//AB，
∴∠HPB=∠PBO，
∵∠OCM=2∠PBO，∠OCM=2∠ECF，
∴∠PBO=∠ECF，
∴∠HPB=∠ECF，
又∵∠PHE=∠CEF=90°，PH=EC=−t，
∴△PHE≌△CEF(ASA)，
∴EF=EH，EP=CF，
设EF=EH=3a，CM=5a，则HC=−t−3a，
∵EF//PN，FN//EP，
∴四边形EFNP为平行四边形，
∴PN=EF=3a，
∴NH=PH+PN=−t+3a，
∵FN=EP，EP=CF，
∴FN=CF，
∴∠FNC=∠FCN，
又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM，
∴∠FNC−∠FNM=∠FCN−∠FCM，
即∠MNC=∠MCN，
∴MN=MC=5a，
∴MH=NH−MN=−t+3a−5a=−t−2a，
在Rt△MHC中，MH2+CH2=MC2，
∴(−t−2a)2+(−t−3a)2=(5a)2，
解得：t=−6a或a(取负值舍去)，
∵tan∠EPH=EHPH=12，tan∠PBO=OEOB=t+52，
∴t+52=12，
∴t=−4，
∴P(−4,−3)，S=12t2=8．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例求出CD的长，然后根据CD平行于x轴，求出对称轴即可求出m的值，代入求出抛物线的解析式即可；
(2)用待定系数法求出PB所在直线的表达式，从而求得E的坐标，根据三角形面积公式求出S关于t的表达式即可；
(3)作∠OCM的平分线，根据第二问所得PH=CE，构造全等三角形，然后构造平行四边形从而得到一个等腰三角形，从而求出EH和CM的长度与t的关系，最后根据等角的三角函数值相等求出t的值即可求解．
本题主要考查了二次函数的综合，根据角的二倍关系，合理构造全等三角形以及等腰三角形是本题解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
m
−1
−1
n
t
…
捐款金额/元
5
10
15
20
25
人数/名
8
14
m
6
4
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力.下列成语描述的事件属于随机事件的是( )
A. 守株待兔B. 竹篮打水C. 画饼充饥D. 瓜熟蒂落
4.下列计算正确的是( )
A. a6b÷a−2=ba3B. (2a−b)2=4a2−b2
C. (−2ab2)3=−6a3b6D. a−6b4÷(−a−5b4)=−1a
5.由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
6.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图所示，则函数y=x2+bx−k−1的图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是( )
A. 920
B. 35
C. 310
D. 25
8.已知5a=2b=10，则代数式a+bab的值为( )
A. 15B. 12C. 1D. 2
9.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−8,0)，点B坐标为(0,6)，⊙O的半径为4(O为坐标原点)，点C是⊙O上一动点，过点B作直线AC的垂线BP，P为垂足，点C在⊙O上运动一周，则点P运动的路径长等于( )
A. 23π
B. 53π
C. 83π
D. 103π
10.从正整数里取出k个不同的数，使得这k个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k的最大值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写一个图象经过第一、二、四象限的一次函数表达式______．
12.杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______．
13.图①是一台笔记本电脑实物图，如图②，当笔记本电脑的张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，当笔记本电脑的张角∠A′OB=108°时，顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为______cm.(A的对应点是点A′，OA′=OA)(参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，结果精确到1cm)
14.饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示).那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃.
15.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根是 5和1− 5；④m+n>103.其中，正确的结论是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求满足不等式组5x+1>3(x−1)；①12x−1≤7−32x.②的负整数解．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，DF//AC．
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC=90°，且AD=2，直接写出四边形AFDE的面积．
19.(本小题8分)
为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如表和如图所示：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)直接写出m，n的值；
(2)上述样本数据的中位数为______；
(3)全校有八年级学生1350人，估计捐款金额超过15元(不含15元)的有多少人？
20.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，DA，DC是⊙O的切线，切点分别为A，C．
(1)求证：△ABC∽△DAC；
(2)连接OD，与AC交于点P，连接BP，BD，若CDBC=34，求BPBD的值．
21.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，D是AB上一点，先画出点B关于AC的对称点B1，再过点D作直线DE，使得DE//BC交AC于点E；
(2)在图2中，先在AC上画点M，使tan∠ABM=35，再在AM上画点N，连接BN，使得S△ABN=23S△ABM．
22.(本小题10分)
问题提出
在2024年中考即将到来之际，学校准备开展“百日誓师，指战中考”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y=ax2−45x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
(1)建立模型如图2，直接写出两墙AB、CD的高度，抛物线的顶点坐标；
解决问题
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2≤n≤94时，求m的取值范围．
23.(本小题10分)
在正方形ABCD中，E为正方形内部的一点，AE=AB，连接BE．
图形介绍如图1，若∠EAB=30°，连接CE、DE，求证：BE=CE；
图形研究将△ABE绕点E逆时针旋转至△GFE，连接BG．
(1)如图2，连接CE、CF，若∠EAB=30°，∠CEF=60°，试判断四边形CBGF的形状，并说明理由；
(2)如图3，若点B在△AEG内部且∠GEB=∠GAB，求∠BGA的度数．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=12(x+m)(x−2)交x轴于A、B两点，交y轴于C点，D在第三象限内的抛物线上，连CD、BD，BD交y轴于F，CD//AB时，2DF=3BF．
(1)如图1，求该抛物线的解析式；
(2)如图2，P是抛物线第三象限一个动点，过P作y轴的垂线，垂足为H，连接PB交y轴于点E，设P点横坐标为t，△CPE的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在第(2)问的条件下，如图3，点M在线段PH上，且∠OCM=2∠PBO，HE：CM=3：5，求P点坐标及相应S的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3.【答案】A
【解析】解：A、守株待兔，是随机事件，故A符合题意；
B、竹篮打水，是不可能事件，故B不符合题意；
C、画饼充饥，是不可能事件，故C不符合题意；
D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：a6b÷a−2=a8b，故选项A错误，不符合题意；
(2a−b)2=4a2−4ab+b2，故选项B错误，不符合题意；
(−2ab2)3=−8a3b6，故选项C错误，不符合题意；
a−6b4÷(−a−5b4)=−1a，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据主视图的特点，拿走③不会变化，
根据左视图的特点，拿走①③④都不会变化，
综合来看，拿走③得到几何体的主视图与左视图均没有变化，
故选：C．
根据主视图和左视图的特点，即可得出结果．
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
反比例函数图象与一次函数图象的一个交点横坐标为−1，
所以x=−1是方程kx=x+b的一个解，
则将x=−1代入x2+bx−k=0得，
1−b−k=0．
将x=−1代入y=x2+bx−k−1得，
y=1−b−k−1=−1，
即函数y=x2+bx−k−1的图象经过点(−1,−1)．
显然四个选项只有C选项符合题意．
故选：C．
根据两个函数图象的交点横坐标，得出x=−1是方程kx=x+b的一个解，再利用整体思想即可解决问题．
本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象，熟知一元二次方程与二次函数之间的关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形的个数有20，恰好是等腰三角形的有8个，
故所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是820=25，
故选D．
画出图形，求出三角形的个数和等腰三角形的个数，即可得到结论．
本题考查了概率公式，正确地求得三角形和等腰三角形的个数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵5a=2b=10，
∴(5a)b=5ab=10b，(2b)a=2ab=10a，
∴5ab⋅2ab=10ab=10a+b，
∴a+b=ab，
∴a+bab=1．
故选：C．
分别将5a=10和2b=10的两边b次方、a次方，得5ab=10b和2ab=10a，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得5ab⋅2ab=10ab=10a+b，从而得到a+b=ab，计算a+bab即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点A坐标为(−8,0)，点B坐标为(0,6)．
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2=10，
∵BP⊥AC，即∠APB=90°，
∴P在已AB为直径的圆弧上，当AC、AC′与⊙O相切时，即OC⊥AC，
sin∠OAC=OCOA=12，
∴∠OAC=30°，
∴∠C′AC=60°，
∴PP′的弧度=120°，
∴点P运动的路径长=120π×5180=10π3．
故选：D．
由连接AB，由∠APB=90°可知P在已AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆O相切时，此时是点P运动路径的两端点，再由解三角形求出∠PAP度数，即可得出点P运动路径PP′的度数，从而求解．
本题考查轨迹，坐标与图形的性质，解题的关键是正确运用相关知识．
10.【答案】B
【解析】解：显然4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k的最大值≥4，
若k≥5，记第n个数为an(n为正整数)，不妨设a1
(1)若a1为奇数，a2为奇数，于是|a1−a2|=a2−a1为偶数，
又a2−a1为质数，
故a2−a1=2，即a2=a1+2；
若a3为奇数，又a3≠a2，
故a3−a1为不等于2的偶数，
即a3−a1为不小于4的偶数，
即a3−a1为合数，矛盾．
故a3为偶数，a4也只能为偶数，
那么，若a5为奇数，
则a5−a1>a3−a1≥2为偶数，
即a5−a1为不小于4的偶数，
从而a5−a1为合数，矛盾；
若a5为偶数，则a5−a3>a4−a3≥2为偶数，
从而a5−a3为合数，矛盾；
(2)a1为奇数，a2为偶数，
于是a2−a1为奇数，即a2−a1≥3，
若a3为奇数，则a3−a1>a2−a1≥3为偶数，
故a3−a1为合数，矛盾，
所以a3为偶数，且a3>a2，
若a4为奇数，则a4−a1>a3−a1>3为不小于4的偶数，即a4−a1为合数，矛盾；
若a4为偶数，则a4−a2>a3−a2>2为不小于4的偶数，即a4−a2为合数，矛盾；
(3)a1为偶数，a2为奇数或偶数，都类似于(1)，(2)可导致矛盾，
综上，所求k的最大值是4，
故选：B．
根据绝对值的定义，结合质数，合数的概念进行判断即可．
本题考查数字变化类规律，解答中涉及绝对值，质数，合数，掌握绝对值的定义是关键．
11.【答案】y=−x+1
【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴当k=−1，b=1时，一次函数解析式为y=−x+1．
故答案为y=−x+1．
利用设一次函数解析式为y=kx+b，利用一次函数的性质得到k<0，b>0，然后写出一组满足条件的k、b的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y=kx+b，然后利用一次函数的性质确定满足条件的k、b的值．
12.【答案】1.058×108
【解析】解：105800000用科学记数法表示为1.058×108．
故答案为：1.058×108．
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】21
【解析】解：∵∠AOB=150°，
∴∠AOC=180°−∠AOB=30°，
在Rt△ACO中，AC=11cm，
AO=2AC=22(cm)，
由题意得：
AO=A′O=22cm，
∵∠A′OB=108°，
∴∠A′OD=180°−∠A′OB=72°，
在Rt△A′DO中，A′D=A′O⋅sin72°≈22×0.95≈21(cm)．
故答案为：21．
利用平角定义先求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】50
【解析】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得b=208k+b=100，
解得：k=10b=20，
故此函数解析式为：y=10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：y=mx，
依据题意，得：100=m8，
解得：m=800，
∴y=800x，
当y=20时，20=800x，
解得：t=x=40，
∵56−40=16>8，
∴当x=16时，y=80016=50．
故答案为：50．
根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点(8,100)，利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y=20代入该函数关系式中求出x值即可，由56−40=16>8，将x=16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
15.【答案】①③④
【解析】解：∵抛物线经过(0,−1)，(1,−1)，
∴抛物线对称轴为直线x=12，c=−1
∵x=0时，y<0，x=−12时y>0，
∴x<12时，y随x增大而减小，即图象开口向上，
∴a>0，
∵−b2a=12，
∴b=−a<0，
∴abc>0，①正确．
∵x>12时，y随x增大而增大，
∴x>1时，y随x增大而增大，
∴②错误．
∵抛物线经过( 5,t)，抛物线的对称轴为直线x=12，
∴抛物线经过点(1− 5,t)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根是 5和1− 5，③正确．
∵b=−a，c=−1，
∴y=ax2−ax−1，
当x=−12时，y=14a+12a−1>0，
∴a>43．
当x=−1时，m=2a−1，当x=2时，n=2a−1，
∴m+n=4a−2>103，④正确．
故答案为：①③④．
由抛物线经过(0,−1)，(1,−1)可得抛物线对称轴为−b2a=12，c=−1，再根据x=−12时，y>0可判断a与b的符号，进而判断①②，由抛物线的对称性可得抛③物线经过点(1− 5,t)，从而判断③，由x=−12时，y>0可判断a的取值范围，进而判断④．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
16.【答案】4825
【解析】解：设BF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠BAD=90°，AD=BC=4，AD//CB，
∵AB=3，
∴AF= BF2+AB2= x2+9，BD= AB2+AD2= 32+42=5，
∵AD//BF，
∴AGGF=DGGB=ADBF=4x，
∴AG=4x+4⋅ x2+9，DG=4x+4×5=20x+4，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠ABF=90°，
∴A，B，F，E四点共圆，
∴∠FAE=∠FBE，
∵∠ADB=∠FBD，
∴∠GAE=∠ADG，
∵∠AGE=∠AGD，
∴△AGE∽△DGA，
∴AGDG=GEAG，
∴AG2=GE⋅GD，
∴EG=AG2DG=4(x2+9)5(x+4)，
令EG=y，
则有5yx+20y=4x2+36，
∴4x2−5yx+36−20y=0，
由题意(5y)2−4×4×(36−20y)≥0，
∴25y2+320y−16×36≥0，
∴(5y−8)(5y+72)≥0，
解得y≥85或y≤−725，
∴EG的最小值为85，
过点A作AH⊥BD于点H.如图1，
∵12⋅BD⋅AH=12⋅AB⋅AD，
∴AH=3×45=125，
∴△AEG的面积的最小值为12×85×125=4825．
解法二：如图2，作△AEG的外接圆O，过点A作AH⊥BD一点H，过点O作OM⊥BD于点M，连接OE，OG．
由题意∠GOM=∠EOM=∠EAG=∠DBC，
∴tan∠GOM=tan∠DBC=34，
设GM=3m，OM=4m，则GE=6m，OA=OG=5m，
∵OA+OM≥AH，
∴5m+4m≥125，
∴m≥415，
GE=6m≥85，
∴S△AEG=12⋅AH⋅EG≥4825，
∴△AEG的面积的最小值为4825．
故答案为：4825．
设BF=x.想办法用x表示出EG，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出EG的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：5x+1>3(x−1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①，得：x>−2，
解不等式②，得：x≤4，
∴该不等式组的解集为−2
【解析】先解出每个不等式，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
(2)∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=2，
∴AF=DF=DE=AE=2 2= 2，
∴四边形AFDE的面积为 2× 2=2．
【解析】(1)根据DE//AB，DF//AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
19.【答案】15元
【解析】解：(1)被调查的总人数为8÷16%=50(人)，
则m=50−(8+14+6+4)=18，
∴n%=1850×100%=36%，即n=36；
(2)上述样本数据的中位数为15+152=15(元)，
故答案为：15元；
(3)1350×6+450=270(人)，
答：估计捐款金额超过15元(不含15元)的约有270人．
(1)先根据捐款5元的人数及其所占百分比求出总人数，继而可得m、n的值；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中捐款金额超过15元(不含15元)的人数所占比例即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】(1)证明：连接AO并延长交BC于点E，
，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴AE⊥AD，DA=DC，
∴AD//BC，∠DAC=∠DCA．
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
即∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC；
(2)过点P作PF⊥BC，交BC于点F，过D作DM⊥BC，交BC延长线于点M，
，
∵△ABC∽△DAC，
∴ACDC=BCAC，
∵CDBC=34，
∴设CD=3x，则BC=4x，AB=AC=2 3x，AD=3x，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OD垂直平分AC，即P是AC的中点，
∴PA=PC= 3x，
∵DM⊥BC，AE⊥AD，AE⊥BC，
∴∠DME=∠DAE=∠AEM=90°，
∴四边形AEMD是矩形，
∴EM=AD=3x，AE=DM，
∵AC2=AE2+EC2，DC2=DM2+CM2，
∴AC2−EC2=CD2−CM2，
∴CM=x，EC=2x，
∴DM=AE= AC2−EC2=2 2x，
∵AE⊥BC，AB=AC，
∴BE=EC=2x，
∴BM=5x，
∴BD= DM2+BM2= 33x，
∵PF⊥BC，
∴∠PFC=90°=∠AEC，
∵∠PCF=∠ACE，
∴△PCF∽△ACE，
∴AEPF=ECFC=ACAP，
∵P是AC的中点，
∴AC=2AP，即EC=2FC，AE=2PF，
∴FC=x，BF=3x，PF= 2x，
∴BP= PF2+BF2= 11x，
∴BPBD= 1133= 33，
故答案为： 33．
【解析】(1)连接AO并延长交BC与点E，由垂径定理可得AE⊥BC，再由切线的性质即可得AD//BC，根据平行线、三角形的性质得出∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，即可得证；
(2)因为△ABC∽△DAC，所以ACDC=BCAC，已知CDBC=34，设CD=3x，可得BC、AB、AC、AD的长，因为DA，DC是⊙O的切线，所以OD垂直平分AC，即P是AC的中点，可得PA、PC的长，因为DM⊥BC，AE⊥AD，AE⊥BC，所以∠DME=∠DAE=∠AEM=90°，可得四边形AEMD是矩形，EM、AE=DM，因为AC2=AE2+EC2，DC2=DM2+CM2，可得CM、EC、DM、AE的长，因为AE⊥BC，AB=AC，可得BE、EC、BM的长，由勾股定理可得BD的长，因为PF⊥BC，所以∠PFC=90°=∠AEC，因为∠PCF=∠ACE，可得△PCF∽△ACE，所以AEPF=ECFC=ACAP，因为P是AC的中点，所以AC=2AP，即EC=2FC，AE=2PF，可得FC、BF、PF的长，由勾股定理求得BP的长，可得BPBD的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．
21.【答案】解：(1)如图1，点B1，直线DE即为所求；
(2)如图2，点M，N即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质找到点B1，连接B1D交AC于点T，作直线BT交AB1于点W，作直线DW交AC于点E，则点B1，直线DE即为所求；
(2)取格点P，Q，R，连接AR，PQ交于点S，连接BS交AC于点M，点M即为所求；另AB为一条对角线作平行四边形AMBL，取AL上的一个三等分点J，BM延长线上一点K，M=LJ，连接JK交AM于点N，则N即为所求．
本题考查网格作图，解答中涉及相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为x=4，
则x=4=−b2a=−452a，
解得：a=0.1；
则抛物线的表达式为：y=0.1x−0.8x+3，
则点A(0,3)，即AB=CD=3(米)，
当x=4时，y=0.1x2−0.8x+3=1.4，
即顶点坐标为：(4,1.4)；
(2)设抛物线的表达式为：y=a′(x−2)2+2，
将点A的坐标代入上式得：3=a′(0−2)2+2，
解得：a′=14，
则抛物线的表达式为：y=14(x−2)2+2，
当x=3时，y=14(x−2)2+2=2.25(米)，
即点M到地面的距离为2.25米；
(3)由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：12(m+8)=4+12m，
则抛物线的表达式为：y=15(x−4−12m)2+n，
将点C的坐标代入上式得：3=15(8−4−12m)2+n，
整理得：n=−120m2+45m−15；
当n=2时，即2=−120m2+45m−15，
解得：m=8−2 5(不合题意的值已舍去)；
当n=94时，
同理可得：m=8− 15，
故m的取值范围为：8−2 5≤m≤8− 15．
【解析】(1)由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(2)由待定系数法求出函数表达式，当x=3时，y=14(x−2)2+2=2.25，即可求解；
(3)设出抛物线的表达式为：y=15(x−3−12m)2+n，将点C的坐标代入上式得：3=15(8−3−12m)2+n，得到n=−120m2+45m−15，进而求解．
本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
23.【答案】图形介绍：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=90°，
∵∠EAB=30°，
∴∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠ADE=30°，
∴DE=CD，∠CDE=30°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE；
图形研究：(1)四边形CBGF是平行四边形，理由如下：
由旋转可知，AB=GF，AE=EG，BE=EF，∠EAB=∠EGF=30°，
又∵BE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠CEF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
又∵AB=BC，AB=GF，
∴BC=GF=GE，
在△ABE中，AB=AE，∠EAB=30°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠GEF=75°，∠CBE=15°，
∵BE=CE，
∴∠CBE=∠BCE=15°，
∴∠CEB=150°，
∴∠GEB=∠BEC−∠CEF−∠GEF=150°−60°−75°=15°，
在△BCE与△EGB中，
BE=EB∠CBE=∠GEBBC=EG，
∴△BCE≌△EGB(SAS)，
∴CE=BG，
∴CF=BG，
在四边形CBGF中，CF=BG，BC=GF，
∴四边形CBGF为平行四边形；
(2)解：在△ABE与△AEG中，
∠EAB+∠AEB+∠ABE=180°，∠EAB+∠AEB+∠GEB+∠GAB+∠AGE=180°，
又∵∠GEB=∠GAB，
∴2∠GAB+∠AGE=∠ABE=75°，
∵AE=EG，
∴∠EAG=∠AGE，
即∠GAB+30°=∠AGE，
∴3∠GAB+30°=75°，
∴∠GAB=∠GEB=15°，
∵△BCE≌△EGB，△EGB为等腰三角形，
∴∠BGE=15°，
∴∠BGA=∠AGE−∠BGE=30°．
【解析】图形介绍：根据正方形的性质找出相等的边，再根据角度关系推出△ADE为等边三角形，最后判定△ABE≌△DCE即可证明结论；
图形研究：(1)先推出BC=GF，再根据已知条件求出∠GEB的大小，判定△BCE≌△EGB后得到CF=BG，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定结论；
(2)根据三角形内角和定理推出各角之间的关系，求出∠GEB的度数后根据①的结论可以求出∠BGE的度数，即可求出∠BGA的度数．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=0，可得，x=−m或m=2，
∴B(2,0)，A(−m,0)，
令x=0，可得：y=−m，
∴C(0,−m)，
∵CD//AB，2DF=3BF，
∴OB：CD=BF：DF=2：3，
∴CD=3，
∴抛物线的对称轴直线为x=−32，
即2−m2=−32，
∴m=5，
∴抛物线的解析式为：y=12x2+32x−2；
(2)∵m=5，
∴A(−5,0)，B(2,0)，C(0,−5)，
∵P在抛物线上，且P的横坐标为t，
∴P的纵坐标为12t2+32t−5，
设PB的表达式为：y=kx+b，
∴0=2k+b12t2+32t−5=kt+b，
解得：k=t+52，b=−t−5，
∴E(0,−t−5)，
∴EC=−t−5+5=−t，
∴S=12×(−t)×(−t)=12t2；
(3)过点E作CE垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线于F，过F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，如图：
∵HP//AB，
∴∠HPB=∠PBO，
∵∠OCM=2∠PBO，∠OCM=2∠ECF，
∴∠PBO=∠ECF，
∴∠HPB=∠ECF，
又∵∠PHE=∠CEF=90°，PH=EC=−t，
∴△PHE≌△CEF(ASA)，
∴EF=EH，EP=CF，
设EF=EH=3a，CM=5a，则HC=−t−3a，
∵EF//PN，FN//EP，
∴四边形EFNP为平行四边形，
∴PN=EF=3a，
∴NH=PH+PN=−t+3a，
∵FN=EP，EP=CF，
∴FN=CF，
∴∠FNC=∠FCN，
又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM，
∴∠FNC−∠FNM=∠FCN−∠FCM，
即∠MNC=∠MCN，
∴MN=MC=5a，
∴MH=NH−MN=−t+3a−5a=−t−2a，
在Rt△MHC中，MH2+CH2=MC2，
∴(−t−2a)2+(−t−3a)2=(5a)2，
解得：t=−6a或a(取负值舍去)，
∵tan∠EPH=EHPH=12，tan∠PBO=OEOB=t+52，
∴t+52=12，
∴t=−4，
∴P(−4,−3)，S=12t2=8．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例求出CD的长，然后根据CD平行于x轴，求出对称轴即可求出m的值，代入求出抛物线的解析式即可；
(2)用待定系数法求出PB所在直线的表达式，从而求得E的坐标，根据三角形面积公式求出S关于t的表达式即可；
(3)作∠OCM的平分线，根据第二问所得PH=CE，构造全等三角形，然后构造平行四边形从而得到一个等腰三角形，从而求出EH和CM的长度与t的关系，最后根据等角的三角函数值相等求出t的值即可求解．
本题主要考查了二次函数的综合，根据角的二倍关系，合理构造全等三角形以及等腰三角形是本题解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
m
−1
−1
n
t
…
捐款金额/元
5
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15
20
25
人数/名
8
14
m
6
4
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