上海市新川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（每题3分，共36分）
1. 已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．
【答案】0.2##
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意．
故答案为：0.2.
2. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.
【答案】0.3
【解析】
【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.
【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，
则，，事件和相互独立.
则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件来表示，.
故答案为：0.3.
3. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．
【答案】12
【解析】
【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.
【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，
剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，
根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.
故答案为：12.
4. 以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是_______．
【答案】90.5
【解析】
【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.
【详解】因为，
将数据从小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98，
故这15人成绩的第80百分位数为，
故答案为：90.5.
5. 的二项展开式中，项的系数为__________．
【答案】210
【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，代入通项公式中可求得结果.
【详解】的二项展开式的通项公式为，
令，得，
所以项的系数为，
故答案为：210
6. 设随机变量服从正态分布，且，则_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解.
【详解】服从正态分布，其正态分布曲线关于轴对称，
由对称性可知.
故答案为：0.1
7. 投掷一颗骰子，记事件，，则_____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先计算出，利用求条件概率的公式求出答案.
【详解】投掷一颗骰子，出现点数共有6种情况，
因为，故，其中，
故.
故答案为：
8. 已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．
【答案】
【解析】
【分析】由期望性质可得答案.
【详解】因，则.
又，则
故选：.
9. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为______．
【答案】240或3840
【解析】
【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出或-4，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，分别代入和，求出答案.
【详解】由于的展开式的二项式系数和为64，即，
解得n＝6．
又由于的展开式系数和为729，令得，即，
解得或-4，
的展开式的通项为，令，
解得，
所以展开式的常数项为，
故当时，，当时，．
故答案为：240或3840
10. 有5只苹果，它们的质量分别为125，a，121，b，127（单位：克）．该样本的中位数和平均数均为124，则该样本的标准差为______．
【答案】2
【解析】
【分析】假设，根据中位数、平均数和标准差的定义，然后列式计算可得答案.
【详解】根据题意，不妨设，从小到大排列可得：121，，，125，127，
则此时，中位数为：，平均数为：，
解得：，符合题意，可得该样本的标准差为：.
故答案为：2
11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%（结果保留一位小数）（已知表示标准正态分布的密度函数从-∞到x的累计面积）
【答案】95.4（或95.5都对）
【解析】
【分析】根据正态分布对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案.
【详解】因为X是服从正态分布，
所以，
则或.
故答案为：95.4或95.5.
12. 已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，再结合可得答案.
【详解】不妨设点在第一象限，设，又，
所以
，
所以，
因为为的中点，所以，即，
所以
，
所以，即，即
所以，则.
故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13. 以下能够成为某个随机变量分布的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.
【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，
显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，
B选项满足要求.
故选：B
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，
故选：A．
15. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
16. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．
三、解答题（8分分分分分，共52分）
17. （1）已知：，求；
（2）解不等式：，其中.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可；
（2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意且.
【详解】（1）因为，解得或（舍去）；
（2）不等式，
即，
即，即，解得，
又，即且，所以或，故不等式的解集为.
18. 已知一个随机变量的分布为：.
（1）已知，求、的值；
（2）记事件A：为偶数；事件B：．已知，求，，并判断A、B是否相互独立？
【答案】（1），；
（2），，事件A与B不相互独立．
【解析】
【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；
（2）由及分布列的性质求出、，进一步求出，，利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【小问1详解】
由随机变量的分布的性质有，得，
又
，
解得，所以，即，；
【小问2详解】
由题意，，又事件A：为偶数，
所以，所以，
由随机变量的分布的性质有，得，
又事件B为，
所以，
所以，
因为，
所以，所以A与B不相互独立.
19. 2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：
（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；
（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．
【答案】（1）3位；第75百分位数是30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；
（2）根据对立事件和组合数公式求概率.
小问1详解】
由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；
因为，所以第75百分位数是第20位，
由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；
【小问2详解】
11名球员没有年龄不小于30的概率,
所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.
20. 某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；
（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；
（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.
【答案】（1）405；
（2）；
（3）选取方案2，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论；
（2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件概率公式计算概率；
（3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得．其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付款期望值．
【小问1详解】
由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人；
【小问2详解】
由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为；
【小问3详解】
按方案1，小王实付款；
按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为，
因此本次购物小王付款的期望值为，
又，因此选取方案2较合适．
21. 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.
（1）求的周长；
（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
（3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）周长为6
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由椭圆方程求出，，然后根据椭圆的定义可求出的周长，
（2）设圆的方程为，由题意可求得，由与圆相切，利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，
（3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出线段的中点的坐标，从而可表示出线段中垂线的方程，则可表示点的坐标，然后表示出到直线的距离，再利用列方程可求出的值，从而可得答案.
【小问1详解】
根据题设条件，可得，
故，，所以，
根据椭圆定义，可知，
因为，
所以，得的周长为6，
【小问2详解】
设圆的方程为，令，得，
故，得.
由题意可得直线的斜率存在，
由与圆相切，得到直线的距离.解得，
故直线方程为
【小问3详解】
假设在轴上存在一点，设直线的方程为，
将直线的方程和椭圆的方程联立，得，
消去并整理，得，必有
令，则
故线段的中点的坐标为，
则线段中垂线的方程为
令，得，点到直线的距离，
又因为，所以，
即
化简得，解得，
故.

1
2
3
8 9
1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 9
0 1 2 2 2 3 4