2023-2024学年福建省漳州市云霄一中平行班高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省漳州市云霄一中平行班高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面向量a=(2,0)，b=(−1,1)，且(ma−b)//(a+b)，则m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 1± 32
2. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
3.已知向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，则(2a−b)⋅a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
4.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b− 3c)，则A=( )
A. 90°B. 30°C. 120°D. 150°
5.已知平面向量a=(0,1),b=(−1,1)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (− 22, 22)B. ( 22,− 22)C. (12,−12)D. (−12,12)
6.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上靠近C的三等分点，AD与BE交于点F，若AB=a，AC=b，则BF=( )
A. −35a+25bB. 25a−35bC. −25a−35bD. 25a+35b
7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积S△ABC= 3，S△ABC= 34(a2+c2−b2)，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
8.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(2,0)，b=(1,1)，则( )
A. |a|=|b|B. (a−b)/​/b
C. (a−b)⊥bD. a与b的夹角为π4
10.已知三个平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=2,|b|=1,|c|=3，则|a−b+c|=( )
A. 2B. 4C. 5D. 13
11.下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
B. 已知c≠0，且a⋅c=b⋅c，则a=b
C. 若OA−=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
D. 若AC⋅AB>|AB|2，则△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点O是三角形ABC内一点，若OB+OC=−OA，则S△AOB：S△AOC= ______．
13.在△ABC中，∠BAC=120°,BC= 3，则△ABC的面积最大值为______．
14.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
(1)求a+2b−3c；
(2)若(a+kc)//(2b−a)，求实数k的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．
(1)求△ABC外接圆的周长；
(2)若b=1，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB，AC于点D，E，设AD=mAB,AE=nAC，其中0(1)求1m+1n的值；
(2)求△ADE面积的最小值，并指出相应的m，n的值．
18.(本小题17分)
为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界AB与AD的长度都是14米，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
(1)若DC的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
19.(本小题17分)
已知a=( 3sinx,−csx)，b=(csx,csx)，f(x)=a⋅b，
(1)求函数f(x)图像的对称轴方程；
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)=12，且b= 3，求a+c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：平面向量a=(2,0)，b=(−1,1)，
则ma−b=(2m,0)−(−1,1)=(2m+1,−1)，a+b=(1,1)，
(ma−b)//(a+b)，
则(2m+1)×1=1×(−1)，解得m=−1．
故选：A．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)
=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB−14AC．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：∵向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，
∴(2a−b)⋅a=2a2−a⋅b=2×32−3×4×cs60°
=18−3×4×12=12．
故选：B．
由向量的运算法则及数量积公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为(a+c)(a−c)=b(b− 3c)，所以b2+c2−a2= 3bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc= 3bc2bc= 32，A∈(0,π)，所以A=π6．
故选：B．
利用余弦定理解三角形即可求得．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为a=(0,1),b=(−1,1)，
所以a⋅b=1，|b|= (−1)2+12= 2，
所以向量a在向量b上的投影向量是a⋅b|b|⋅b|b|=12b=(−12,12)．
故选：D．
由投影向量的定义计算即可求得．
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理，向量共线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
由向量共线的性质分别设BF=λBE，AF=μAD，结合条件依次表示出BF=23λAC−λAB，BF=12μAC+(12μ−1)AB，对应解出λ，μ，即可得到答案．
【解答】
解：如图，
因为B、F、E三点共线，不妨设BF=λBE，即BF=λ(AE−AB)=23λAC−λAB，
同理，由A、F、D三点共线，不妨设AF=μAD，
即AB+BF=μ(AC+CD)=μAC+12μCB=μAC+12μ(AB−AC)=12μAC+12μAB，
所以BF=12μAC+(12μ−1)AB，
所以−λ=12μ−123λ=12μ，解得λ=35，μ=45，
故BF=−35AB+25AC=−35a+25b，
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：∵△ABC的面积S△ABC= 3=12acsinB，
∴acsinB=2 3，
S△ABC= 34(a2+c2−b2)，
则 34(a2+c2−b2)=12acsinB，
∴tanB=sinBcsB= 3，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3，sinB= 32，
∴ac=4
∴AB⋅BC=accs(π−B)=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由N是BC边的中点，可得AN=12(AB+AC)，利用M是△ABC的外接圆的圆心，可得AM⋅AB=|AM||AB|cs∠BAM=12|AB|2=12×42=8，同理可得AM⋅AC=12|AC|2=18，即可得出结论．
【解答】
解：∵N是BC边的中点，可得AN=12(AB+AC)，
∵M是△ABC的外接圆的圆心，
∴AM⋅AB=|AM||AB|cs∠BAM=12|AB|2=12×42=8，
同理可得AM⋅AC=12|AC|2=18，
∴AN⋅AM=12(AB+AC)⋅AM=12AM⋅AB+12AM⋅AC=12×8+12×18=13．
故选C．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出|a|=2,|b|= 2，从而判断A错误；得出(a−b)⋅b=0，从而判断B错误，C正确；求出cs= 22，从而判断D正确．
【解答】
解：∵|a|=2,|b|= 2，∴A错误；
∵a−b=(1,−1)，∴(a−b)⋅b=1−1=0，∴(a−b)⊥b，∴B错误，C正确；
∵cs=a⋅b|a||b|=22 2= 22，且0≤≤π，
∴a与b的夹角为π4，∴D正确．
故选CD．
10.【答案】BD
【解析】解：因为平面向量a,b,c两两夹角相等，即a,b,c两两夹角为0°或120°．
当a,b,c两两夹角为0°时，|a−b+c|=|a|−|b|+|c|=2−1+3=4；
当a,b,c两两夹角为120°时，
(|a−b+c|)2=(a−b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2−2a⋅b+2a⋅c−2b⋅c
=22+12+32−2×2×1×(−12)+2×2×3×(−12)−2×1×3×(−12)=13，
则|a−b+c|= 13，
综上，|a−b+c|=4或 13．
故选：BD．
由题意得a,b,c两两夹角为0°或120°，当a,b,c两两夹角为120°时，利用(|a−b+c|)2=(a−b+c)2转化为数量积计算即可．
本题考查平面向量的夹角及数量积运算，属基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A：若两个非零向量a，b，满足|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向，故A正确；
对于B：由a⋅c=b⋅c，得(a−b)⋅c=0，已知c≠0，a−b≠0时，(a−b)⊥c，故a≠b时满足a⋅c=b⋅c，故B错误，
对于C：BA=OA−OB=(−3,−1)，BC=OC−OB=(−1−m,−m)，
由于∠ABC为锐角，则BA⋅BC=3(1+m)+m>0，解得m>−34，
BA与BC不共线，得3m−(1+m)≠0，即m≠12，∴故C错误；
对于D：由AC⋅AB>|AB|2，得(AB+BC)⋅AB>|AB|2，
∴AB2+BC⋅AB>|AB|2，∴BC⋅AB>0，∴|BC|⋅|AB|cs<π−B)>0，
∴csB<0，∵0故选：AD．
利用足|a−b|=|a|+|b|，可得向量a与b共线且反向，判断A；c≠0，a−b≠0时，(a−b)⊥c，可判断B；∠ABC为锐角，则BA⋅BC=3(1+m)+m>0，BA与BC不共线，得3m−(1+m)≠0，即m≠12，可判断C；由AC⋅AB>|AB|2，得(AB+BC)⋅AB>|AB|2，可得csB<0，可判断D．
本题考查了平面向量的数量积，向量的运算，以及向量的应用，属中档题．
12.【答案】1
【解析】解：设D为BC中点，由OB+OC=−OA，可得OA+OB+OC=0，故O为△ABC的重心，
则S△AOB：S△ADB=2：3，S△AOC：S△ADC=2：3，
而S△ADB=S△ADC，所以S△AOB=S△AOC，
即S△AOB：S△AOC=1．
故答案为：1．
由题意得O为△ABC的重心，根据重心性质即可求得结论．
本题考查平面向量的线性运算，考查三角形重心性质，属基础题．
13.【答案】 34
【解析】解：根据题意得：∠A=120°,a= 3
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA，
即3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc
所以bc≤1，当且仅当b=c=1时取等号，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc≤ 34．
故答案为： 34．
根据解三角形余弦定理以及基本不等式，求解出bc的最大值，从而解得△ABC的面积最大值．
本题主要考查余弦定理以及基本不等式，属于基础题．
14.【答案】74
【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30∘=3712=74，
在△ACM中，可得∠CAM=30°+15°=45°，∠ACM=180−45°−30°=105°，
所以∠AMC=30°，
由正弦定理ACsin∠AMC=MCsin∠CAM，可得CM=ACsin30∘⋅sin45°=7412× 22=74 2，
又在Rt△CMN中，MN=MC⋅sin45°=74 2× 22=74．
故答案为：74．
先在Rt△ABC中求出AC的长度，然后再求出△ACM中的∠CAM，∠ACM，利用正弦定理求出CM，最后在△CNM中利用三角函数的定义求出MN的长度即可．
本题考查解三角形的应用，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属于中档题．
15.【答案】解：(1)向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
∴a+2b−3c=(3,2)+(−2,4)−(12,3)=(−11,3)；
(2)a+kc=(3+4k,2+k)，
2b−a=(−5,2)，
若(a+kc)//(2b−a)，则3+4k−5=2+k2，
解得实数k=−1613．
【解析】(1)利用向量坐标运算法则直接求解；
(2)利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)因为a+bc=sinC−sinBsinA−sinB，
由正弦定理得a+bc=c−ba−b，
整理得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12，
且A∈(0,π)，则A=π3．
又因为a=2，由正弦定理得△ABC外接圆的半径r=12×asinA=2 33，
所以△ABC外接圆的周长为2πr=4 3π3．
(2)在△ABC中，a=2，b=1，A=π3，
由正弦定理得asinA=bsinB，
可得sinB=bsinAa=1× 322= 34，
又因为A>B，可知B∈(0,π3)，
可得csB= 1−sin2B= 134，
则sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 32× 134+12× 34= 39+ 38，
所以△ABC的面积为12absinC=12×2×1× 39+ 38= 39+ 38．
【解析】(1)根据题意利用正、余弦定理可得A=π3，再结合正弦定理求外接圆半径；
(2)根据题意利用正弦定理和三角恒等变换求sinC，再结合面积公式运算求解．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)延长AG交BC与F，由G是正三角形ABC的中心，得F为BC的中点，

则AG=23AF，由AF=12AB+12AC，AD=mAB,AE=nAC，
得AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，
所以13m+13n=1，即1m+1n=3；
(2)△ABC是边长为1的正三角形，则|AD|=m，|AE|=n，
S△ADE=12⋅m⋅n⋅ 32= 34mn，
由1m+1n=3，则n=m3m−1，
0S△ADE= 34mn= 34⋅m23m−1= 312⋅m2m−13，
设t=m−13，则m=t+13(16≤t≤23)，
则S△ADE= 312(t+19t+23)≥ 312(2 t⋅19t+23)= 39，
当且仅当t=19t，即t=13时取等号，
所以当t=13，即m=n=23时，S△ADE取得最小值 39．
【解析】(1)由正三角形ABC的中心的性质，有AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，所以1m+1n=3；
(2)△ADE面积表示为m的函数，通过换元和基本不等式，求最小值．
本题考查平面向量基本定理，考查基本不等式的应用，属中档题．
18.【答案】解：(1)连接BD，由题意△ABD是等边三角形，所以BD=14，
在△BCD中，由余弦定理得，
|BD|2=|BC|2+|CD|2−2|BC|⋅|CD|cs∠BCD，
即|BC|2+6|BC|−160=0，解得|BC|=10(含去|BC|=−16)，
故BC的长为10米；
(2)设∠BDC=θ，∠CBD=π3−θ，
在△BCD中，CDsin∠CBD=BCsin∠BDC=BDsin∠C=14 32=28 3，
所需篱笆的长度为f(θ)=28+28 33[sinθ+sin(π3−θ)]
=28+28 33(sinθ+ 32csθ−12sinθ)
=28+28 33sin(θ+π3)≤28+28 33，
则当θ=π6时，所需篱笆的最大长度为28+28 33米．
【解析】(1)在△BCD中，根据余弦定理，即可求得；
(2)设∠BDC=θ，将所需篱笆的长度表示成关于θ的函数，利用正弦函数的范围即可求得最大值．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查解三角形，属中档题．
19.【答案】解：(1)已知a=( 3sinx,−csx)，b=(csx,csx)，
则f(x)=a⋅b= 3sinxcsx−cs2x= 32sin2x−12cs2x−12=sin(2x−π6)−12，
由2x−π6=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π3，k∈Z，
即函数f(x)图像的对称轴方程为x=kπ2+π3，k∈Z；
(2)由f(B)=12，
则sin(2B−π6)=1，
又2B−π6∈(−π6,11π6)，
即2B−π6=π2，
即B=π3，
又b= 3，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：a=2sinA，c=2sinC，
即a+c=2sinA+sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=2 3cs(A−π3)，
又0则−π3即2 3cs(A−π3)∈( 3,2 3],
即a+c的取值范围为( 3,2 3]．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算及三角恒等变换，结合三角函数的性质求解即可；
(2)由正弦定理可得a+c=2 3cs(A−π3)，然后结合三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了正弦定理及三角函数值域的求法，属中档题．