2023-2024学年湖北省武汉市问津教育联合体高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市问津教育联合体高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算结果正确的是( )
A. (x+1x)′=1+1x2B. (xlnx)′=lnx+1
C. (sinπ)′=csπD. (exx)′=ex(x+1)x2
2.在前n项和为Sn的等差数列{an}中，a6=a5+S4，a7=19，则S5=( )
A. 3B. 10C. 15D. 25
3.设f′(x)=x2−2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知直线l过点A(1,1)交圆O：x2+y2=4于C，D两点，则“|CD|=2 3是直线l的斜率为0”的( )
A. 必要而不充分条件B. 充分必要条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若f(x)=−13x3+12x2+2x+1是区间(m−1,m+4)上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. m≤−5B. m≥3
C. m≤−5或m≥3D. −5≤m≤3
6.已知双曲线C：x2−y23=1,O为坐标原点，F是C的左焦点，过点F的直线与C的两条渐近线分别交于M、N.若三角形OMN是直角三角形，则三角形OMN的面积=( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 32
7.若函数f(x)的导数f′(x)=x−sinx，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)−csx的零点为( )
A. 0B. ± 2C. ±2D. 2kπ(k∈Z)
8.设三棱锥S−ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，AB=2，BC=3，AC= 7，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为( )
A. 66B. 33C. 32D. 62
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线(m−1)x+(2m−1)y=m−3(m∈R)恒过定点(5,−2)
B. 已知过点(0,−1)的直线l与以点A(4,2)，B(−3,1)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为[−23,34]
C. 圆x2+y2=2上有且仅有3个点到直线l：x−y+1=0的距离都等于 22
D. 已知圆C：x2+y2=2，P为直线x−y+2 3=0上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则线段PA的最小值为2
10.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为4的正方形，则( )
A. 异面直线AE与DF所成角大小为π3
B. 二面角A−EB−C的平面角的余弦值为13
C. 存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入此八面体内．
D. 此八面体的内切球表面积为8π3
11.已知函数f(x)=|x−3|ex+a−1，则下列选项正确的是( )
A. y=f(x)在(2,3)上单调递减
B. y=f(x)恰有一个极大值
C. 当a>1时，y=f(x)有三个零点
D. 当a=1时，f(f(x))=0有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a、b为实数，函数y=lnx+ax在x=1处的切线方程为4x−y+b=0，则ab的值______．
13.已知各项都为正数的等比数列{an}，若a8a2+5a5=14，则lg2a1+lg2a2+lg2a3+…+lg2a9= ______．
14.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，圆F以F为圆心，且过坐标原点.过F作斜率为1的直线l，与E交于点A，B，与圆F交于点C，D，其中点B，D均在第一象限，|BD|−|AC|=4 2，则p= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a．
(1)求a与q的值；
(2)若bn=lg2an，记数列{bn}的前n项和为Tn，若1T2+1T3+⋯+1Tn+10对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，左、右顶点分别为A，B，P(x,y)为椭圆E上一点，且 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2 2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线与椭圆E交于C，D两点(其中点C位于x轴上方)，记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，如果是定值，求出定值，如果不为定值，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A：(x+1x)′=1−1x2，故A错误；
对于B：(xlnx)′=x′lnx+(lnx)′x=lnx+1x⋅x=lnx+1，故B正确；
对于C：(sinπ)′=0，故C错误；
对于D：(exx)′=(ex)′x−x′exx2=xex−exx2=ex(x−1)x2，故D错误．
故选：B．
根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设{an} 的通项公式为an=a1+(n−1)d，其中a1 是首项，d是公差，
则a5=a1+4d，a6=a1+5d，S4=a1+a42×4=4a1+6d，
由题意a1+5d=a1+4d+4a1+6d，解得a1=−54d，又a7=a1+6d=19，
代入得a1=−5，d=4，得a5=−5+4×4=11，得S5=a1+a52×5=15．
故选：C．
写出等差数列的通项公式以及前n项求和公式，利用题中所给的条件即可．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为f′(x)=x2−2x，所以令f′(x)>0，得x2；令f′(x)