上海市青浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间120分钟 满分150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分）
1. 与的等差中项是________.
【答案】-5
【解析】
【分析】根据等差中项的定义计算即可.
【详解】设等差中项为，则，
故答案为：-5
2. 乘积的展开式中共有______项.
【答案】24
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可得答案.
【详解】由中取一项共3种不同取法，从中取一项有2种不同取法，从中取一项共4种不同取法，
由分步乘法计数原理知，该展开式共3×2×4＝24(项)
故答案为：24．
3. 已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．
【答案】0.2##
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意．
故答案为：0.2.
4. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人.
故答案为：15
5. 2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为______.
【答案】48
【解析】
【分析】利用捆绑法，结合全排列即可求解.
【详解】先将2位教师捆绑在一起，再与3名学生进行全排列，所以排法有：种.
故答案为：48
6. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则_________.
【答案】
【解析】
【详解】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以
7. 已知函数，则函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.
【详解】由函数可得，
令，
即函数的单调递增区间为，
故答案为：
8. 设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，计算即得答案.
【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，
则数据，，，的方差为；
故答案：.
9. _____________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.
【详解】设函数，则；
.
故答案为：.
10. 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案.
【详解】由题意可得：，
则、是函数零点，则，
且为等比数列，设公比为，
可得，解得，
注意到，可得.
故答案为：.
11. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.
【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．
由时，；得其关于原点对称后的解析式为．
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
12. 已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.
【详解】因，则，
由，，可得，
，所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，则，
所以，
所以
.
故答案：
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 百分位数D. 标准差
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断.
【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，
所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、B不正确；
百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，
则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数.
所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确；
标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D正确.
故选：D.
14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）
A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95
D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D.
【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；
讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间，
则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；
讲座后答卷得分依次为，
因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C错误；
讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，
所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.
故选：C.
15. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断在开区间内极值点个数.
【详解】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
结合函数图象可知，导函数在内与轴有4个交点，但在两侧均为单调递增函数，因而不极值点，
所以在开区间内极值点有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题.
16. 已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（ ）个
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】分析条件，可得，可判断①；先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，可判断②③.
【详解】对于①，
，所以，，故①正确；
对于②③，令，，，
所以，，即：､､成等差数列，
令，，，
，
化简为：，
两式相减得：
所以，，当时也成立.
综上可得，“梦想数列”必是等差数列，故③正确，故②不正确.
故选：B.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. A校为了了解学生对食堂的满意程度，随机调查了50名就餐学生，根据这50名学生对食堂满意度的评分，绘制出如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.

（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若A校共有3000名学生，试估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值；
（2）先计算出样本中对食堂满意度不低于80分的频率，用样本估计总体，即可求解．
【小问1详解】
由题意可知：，解得；
【小问2详解】
样本中对食堂满意度不低于80分的频率为，用样本估计总体，
所以估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数为人．
18. 记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求正整数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，确定数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式.
（2）验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案.
【小问1详解】
由，，得，
且当时，，即.
故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，，
故数列的通项公式为，
【小问2详解】
当时，，又.
当时，，不满足条件；
当时，
由，
解得.
19. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案.
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可.
【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有即
解得，，．
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则
．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
20. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式；
（2）先求出，再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；
（3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和.
【小问1详解】
因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，
所以；
设等比数列的公比为（），
因为，，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
则
，
则
【小问3详解】
由（1）得
，
则
，
【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.
21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
（1）若函数存在“相关点”，求的值；
（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
（3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解；
（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解；
（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
函数的对称轴为，
且函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极值点，
因为函数存在“相关点”，
由题意可得，，解得.
【小问2详解】
由，则 ，
由题意可得，，即，即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以方程存在唯一实数根1，即，即，
此时，则，
令，即；令，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，
所以.
【小问3详解】
由，得，即，
设，为函数的“2相关点”，则，
另一方面，，所以，
所以且，解得，，，
故，则，
因为过点存在3条直线与曲线相切，
设其中一个切点为，则，
整理得，
设，且函数有三个不同的零点，
则，
令，则；令，则或.
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.