专题01 投影与视图（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）投影相关概念
（1）平行投影由平行光线形成的投影．
（2）中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
（3）在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
（二）三视图相关概念
（1）三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
（2）三视图的对应关系
长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
（3）常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
考点一遍过
考点1：平行投影
典例1：（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高1.5m的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（ ）
A．4.5mB．8mC．5.5mD．7m
【变式2】（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变B．逐渐变长C．先逐渐变短，后又逐渐变长D．逐渐变短
【变式3】（2023·贵州遵义·统考三模）把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（ ）
A．B．C．D．
考点2：中心投影
典例2：（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少32米B．增加32米C．减少53米D．增加53米
【变式2】（2023春·九年级单元测试）如图，假如晚上你从A处走到B处，你在路灯C下的影子在地面上的变化情况是（ ）
A．逐渐变长B．先变短后变长C．逐渐变短D．先变长后变短
【变式3】（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）如图，晚上小亮在路灯下经过，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短B．逐渐变长
C．先变长后变短D．先变短后变长
考点3：正投影
典例3：（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（ ）
A．一条线段B．一个与原三角板全等的三角形
C．一个等腰三角形D．一个小圆点
【变式1】（2023·北京·九年级专题练习）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·安徽·九年级专题练习）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2018秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
考点4：判断几何体的三视图
典例4：（2023春·安徽·九年级专题练习）下列立体图形中，主视图与左视图不同的是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，该几何体的左视图是( )

A． B． C． D．
考点5：由三视图还原几何体
典例5：（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图是一个几何体的主视图和俯视图，则下列选项中，可能为该几何体的是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·云南昭通·九年级统考期中）下图是某立体组合体的三视图，箭头方向为正面方向，那么与它对应的物体是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023·安徽·统考中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A． B． C． D．
考点6：由三视图判断小方块的个数
典例6：（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）

A．8B．7C．6D．5
【变式1】（2023·四川眉山·统考中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）

A．6B．9C．10D．14
【变式2】（2023·河北唐山·统考二模）图中三视图对应的几何体是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2022春·九年级单元测试）一个几何体是由若干个相同的立方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的立方体个数不可能的是（ ）
A．15个B．13个C．11个D．5个
考点7：作几何体的三视图
典例7：（2022秋·山东威海·九年级校联考期中）如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，请画出该零件的三视图

【变式1】（2023·浙江金华·统考一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．

(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
【变式2】（2021春·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）如下图，是由若干个小正方体所描几何体从上画看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位个小正方体个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图．

【变式3】（2022秋·江苏南京·七年级统考期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图．
考点8：由三视图求表面积与体积
典例8：（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m．

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块组成，从上面看到它的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．

(1)请画出从正面和左面看该几何体得到的形状图；
(2)若小立方块棱长都为2cm，则所搭几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）是______．
【变式2】（2022春·九年级单元测试）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，请写出该几何体的名称，并求出它的表面积．

【变式3】（2022秋·九年级单元测试）某几何体的主视图和俯视图如图所示（单位：mm），求该几何体的体积．

同步一遍过
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·校考一模）下图中几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图是由几个相同的小正方形搭成的几何体的主视图与左视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄二十三中统考期末）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体，若去掉1号小正方体，则下列说法正确的是（ ）
A．左视图和俯视图不变B．主视图和左视图不变
C．主视图和俯视图不变D．都不变
4．（2023春·安徽·九年级专题练习）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春·福建三明·九年级统考期中）如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是（ ）
A．48+60πB．48+40πC．48+30πD．48+36π
7．（2022秋·九年级课时练习）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是( )

A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图
8．（2022·江苏无锡·统考一模）如图是由几个小立方块所塔成的几何的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·七年级单元测试）如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
二、填空题
11．（2022秋·浙江·九年级期末）某一时刻，测得身高1.6m的同学在阳光下的影长为2.8m，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m，则教学楼的高为 m.
12．（2022秋·九年级单元测试）如图所示是由6个同样大小的小正方体摆成的几何体． 将正方体①移走后，所得几何体主视图 ，俯视图 ，左视图 ．（均填“改变”或“不变”）
13．（2022·七年级单元测试）若由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是 ．
14．（2023秋·山东济南·九年级期末）如图所示的几何体是由6个边长为1cm的相同的正方体搭成的，它的表面积等于 ．
15．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是 块．

16．（2022秋·九年级单元测试）如图，是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出其主视图：
​
三、解答题
17．（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期中）画出如图的几何体的主视图、左视图和俯视图．
18．（2022·九年级课时练习）一木杆按如图所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）.
19．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△ABC，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹）
（2）则点C′的坐标为 ，周长比C△A′B′C′：C△ABC＝ ．
（3）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6m．
①请你在图②中画出此时DE在阳光下的投影EF．
②根据题中信息，求得立柱DE的长为 m．
20．（2022春·九年级单元测试）如图是由相同的5个小正方体组成的几何体，请画出它的三种视图，若每个小正方体的棱长为a，试求出该几何体的表面积．

21．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，画出这些立体图形的三视图．
22．（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
(1)画该几何体的三视图；
(2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加______块小正方体．
23．（2022·山东威海·九年级统考期末）如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图．
24．（2022秋·江苏徐州·七年级统考期末）如图，是由8个大小相同的小正方体组合成的简单几何体.
（1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图：
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和主视图不变，那么请画出添加小正方体后所得几何体所有可能的左视图.
25．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）元宵节晚上，小王与爸爸妈妈看灯会，他想了解路边路灯的大致高度．具体做法如下：如图，先从路灯灯柱MN底部M向东走25步到A处，发现自己的影子端点落在B处，作标记后，继续沿刚才自己的影子走5步恰好到达点B处，此时影子的端点在C处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．若小王的身高是1.72m，请帮他解决问题：
(1)在图中画出路灯O和影子端点C的位置；
(2)估计路灯MO的高，并求影长BC的步数．