专题02 反比例函数的应用（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（二）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：一次函数与反比例函数——交点问题
典例1：（2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=-6x（x-2B．-21D．x0
(2)运输公司平均每天至少安排20辆车
【分析】（1）由题意知vt=105，然后写成反比例函数解析式的形式；
（2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有105102x≤50，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知vt=105
∴v=105t，t>0
∴函数关系式为：v=105t，t>0．
（2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车
则105102x≤50
解得x≥20
∴运输公司平均每天至少安排20辆车．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意列正确的等式或不等式．易错点是解析式未给出自变量的取值范围．
【变式3】（2022春·八年级课时练习）设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
【答案】(1)y=60xx>0
(2)估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人
【分析】（1）根据每天生产的工艺品数量=每名工人每天生产的工艺品数量×工人人数进行求解即可；
（2）根据6≤x≤8结合反比例函数的性质可求出y的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得y=60xx>0；
（2）解：由题意得6≤x≤8，
∴当x=6时，y=606=10；当x=8时，y=608=7.5，
∵y=60xx>0，
∴函数值随自变量的增大而减小，
∴7.5≤y≤10，
∴估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到y=60xx>0是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）反比例函数y=kx的图象经过点-2,1，则下列说法错误的是（ ）
A．k=-2B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x0
【分析】设反比例函数图象设解析式为y=kx，根据反比例函数图象经过点0.04，3200，利用待定系数法求解即可.
【详解】解：设反比例函数图象设解析式为y=kx，
由图得，反比例函数上一点坐标为0.04，3200，
∴k=0.04×3200=128，
又题中实际意义需x>0．
故答案为：y=128xx>0．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．
16．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）如图,已知A1,A2,A3,…An,An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=An,An+1=1，分别过点A1A2A3,…An,An+1作x轴的垂线交反比例函数y＝1xx>0的图象于点B1,B2,B3,…Bn,Bn+1,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……记ΔB1P1B2的面积为S1,ΔB2P2B3的面积为S2……ΔBnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…Sn等于 ．

【答案】n2（n+1）
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），Bn+1点的坐标为（n+1，yn+1），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【详解】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴设B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)，Bn+1（n+1，yn+1），
∵B1,B2,B3…Bn，Bn+1在反比例函数y＝1xx>0的图象上，
∴y1=1,y2=12,y3=13，…，yn=1n，yn+1=1n+1，
∴S1=12×1×(y1−y2)=12×1×(1−12)=12(1−12)；
S2=12×1×(y2−y3)=12×(12−13)；
S3=12×1×(y3−y4)= 12×(13−14)；
…
Sn=12 (1n−1n+1)，
∴S1+S2+S3+…+Sn=12(1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1)=12(1-1n+1)=n2（n+1）.
故答案为n2（n+1）.
【点睛】本题是一道找规律问题.用反比例函数上的点的坐标求出三角形的高是解题的关键.
三、解答题
17．（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数y＝kxx>0的图象经过点A3，1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段OC、OA与（2）中所作的垂直平分线分别交于B、D两点，连接AB．求△ABC的周长．
【答案】(1)y=3xx>0
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）将点A(3,1)代入y=kx求出k值即可求解；
（2）按尺规作图的要求作图即可；
（3）根据点A(3,1)求得AC=1，根据线段的垂直平分线的性质得，OB=AB，最后求△ABC的周长即可．
【详解】（1）解：将A3，1代入反比例函数y=kxx>0，
解得：k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=3xx>0
（2）解：如图，
（3）解：如图，
∵A(3,1)，AC⊥x轴
∴AC=1，OC=3，
由垂直平分线性质可知：AB=OB，
故△ABC周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，用尺作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18．（2023春·海南海口·八年级校联考期中）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A1,8，B-4,m．
（1）求k1，k2，b的值;
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）S△AOB=15．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k1，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值，最后将点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k2，b；
（2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4，然后根据S△AOB=S△COB+S△COA即可求出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A1,8，B-4,m
∴k1=8，B-4,-2，
得8=k2+b-2=-4k2+b，
得k2=2b=6
综上所述，k1=8，k2=2，b=6；
（2）由（1）知一次函数y=2x+6的图象y轴的交点坐标为0,6，设点C（0,6），过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4
∴S△AOB=S△COB+S△COA=12×6×4+12×6×1=15；
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
19．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在平面中，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象相交于A、B两点.
（1）根据图象分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）在反比例函数图象上取点C，求三角形ABC的面积．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【详解】试题分析：（1）根据直角坐标系可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式；
（2）求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时的x的取值范围即可；
（3）把△ABC放在一个边长为3的正方形内，用正方形的面积减去周围几个小直角三角形的面积即可得到结果.
（1）由图可得A（2，0.5），B（-1，-1），由题意得
，解得
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）由图象可得当或时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）
考点：本题考查了用待定系数法求函数关系式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积
点评：解答本题的关键是注意在求不规则三角形的面积时，往往把这个三角形放在一个长方形或正方形中，再减去周围几个小直角三角形的面积即可.
20．（2022春·九年级单元测试）如图，已知A(4, a)，B(-2, -4)是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=mx的图象的交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解折式．
(2)观察图象，直接写出使y1>y2成立的自变量x的取值范围．
(3)求△AOB的面积．
【答案】(1)y2=8x ,y1=x-2；(2) 当x>4或-24或-20)的图象上，点B在y轴上，OB=2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD=1．
(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线AC的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)4；y＝-2x＋6
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【详解】（1）∵点B在y轴上，OB=2，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且OD=1
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y=sx+t，
∴s+t=42s+t=2 解得s=-2t=6，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
22．（2022秋·九年级课时练习）如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=kx (k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
【答案】（1）y=3x，（2，32）（2）（0，53）
【分析】（1）根据D为BC的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标
（2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【详解】（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2，
∵点D为BC的中点，
∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，3），
将点D的坐标代入y=kx中得：k=1×3=3；
∴反比例函数的表达式y=３ｘ，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y=３２，
∴点E的坐标为（2，３２）；
（2）∵点E的坐标为（2，３２），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=３２，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴DBCF＝BEBC，
∴FC=４３，
∴OF=3－４３＝５３
∴点F的坐标为（0，５３）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．
23．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1与y轴交于点A0,m，与反比例函数y=4x(x>0）的图象交于点B．过点B作BH⊥x轴于H．
1若A0,-3,Bn,1，求直线l1的解析式；
2平移1中的直线l1，若AO>13BH,直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y=x-3；（2）m>33或m0)求出n=4，得出B的坐标是(4,1)，然后根据待定系数法即可求得．
（2）若AO=13BH，则BH=3|m|，求出两种特殊位置m的值，可得结论．
【详解】解：（1）把B(n,1)代入y=4x(x>0)得：n=4，
即B(4,1)，
设直线l1的解析式为y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：4k+b=1b=-3，
解得k=1b=-3，
∴一次函数的解析式是y=x-3．
（2）由题意可知直线l1为y=x+m，
由题意，A(0,m)，C(-m,0)，
∴OA=OC=|m|，
∴ΔBCH是等腰直角三角形，
若AO=13BH，则BH=3|m|，
当m0时，B(43m，3m)，
则有-4m=-43m，解得m=-33（舍弃）或33，
观察图象可知，满足条件的m的值为：m>33或m0时，y随x的增大而减小，
所以当y≤0.8时，x≥375，
即此次整改实时监测的时间至少要375小时．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
25．（2022春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上移动，过点O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在动过程中，双曲线y=kx (x>0)的图象始终经过BC的中点E，交AB于点D.
(1)证明：点D是AB的中点；
(2) 连结OE记∠AOE= α.
①当α=45°时，求 a、b之间的数量关系；
②当α=30°，k=3 时，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE,记双曲线与四边
形OMNE除点E外的另一个交点为F，求直线DF的解析式
【答案】（1）见解析 （2）① a=2b ② y=-12x+3+12
【详解】分析：（1）根据中点坐标公式得到E点坐标，再根据待定系数法得到双曲线解析式，把D点的横坐标代入可求D点的纵坐标，依此即可证明；
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可得到a、b之间的数量关系；
②首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=3，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．
详解： 1∵E为BC中点,OA=a OC=b，
∴Ea2,b，
把E代入y=kx，得： k=ab2 ，
∴y=ab2x ，
∴Da,b2，即AD=b2 .
∴D为AB中点.
2①∵OABC为矩形，∠α=45°，
∴∠COE=∠CEO=45°，
∴CO=CE=b，
∴b=12a，即a=2b.
② (3)如图，过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，
∵∠AOE=30°,k=3，
∴EHOH=33，
∴OH=3EH，
∵S△EOH=12OH⋅EH=12k=32，
∴EH=1,OH=3，
∵E是BC的中点，
∴OA=2OH=23，
∴点D的横坐标为23，
则y=323=12，
∴点D(23,12)，
由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG:OG=3，
∵S△FOG=12OG⋅FG=12k═32，
∴OG=1,FG=3，
∴点F(1,3)，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则23a+b=12a+b=3，
解得：a=-12b=3+12，
∴直线EF的解析式为：y=−12x+3+12.
点睛：反比例函数综合题.
L/cm
10
15
25
30
F/N
30
20
a
10
P
1.5
2
2.5
3
4
…
V
64
48
38.4
32
24
…
x（厘米）
1
2
3
5
y（米）
14
7
143
2.8
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y/（双）
40
30
24
20
木板面积Sm2
1
1．5
2
2．5
3
4
木板对湿地的压强pPa
600
400
300
240
200
150
桌面所受压强P（Pa）
100
200
400
500
800
受力面积Sm2
2
1
0.5
0.4
0.25
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400
R（Ω）
…
2
3
4
…
I（A）
…
2.4
1.6
1.2
…