专题02 矩形的性质与判定（知识串讲+9大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）矩形的性质
（二）矩形的判定
（三）斜边中线的性质
在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半
如图：OB=12AB
考点一遍过
考点1：矩形的性质——求角度
典例1：（2023春·山西晋城·八年级校联考期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC边延长线上一点，连接AC，DE．若∠ACB=40°，BE=AC，则∠CED的度数为（ ）

A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】连接BD，交AC与点O，根据已知条件可知，BD=AC=BE，则△BDE是等腰三角形，再根据∠DBE=∠ACB=40°，可求得∠E的度数．
【详解】解：连接BD，交AC与点O，
如图所示，

∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，OB=12BD，OC=12AC，
∴BO=OC
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=40°，
∴∠DBC=40°，
∵BE=AC，BD=AC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠E=12×180°-40°=70°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答关键是添加辅助线，利用矩形的对角线相等且互相平分的性质解题．
【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AC,BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD=128°，则∠CDE的度数为（ ）

A．22°B．26°C．28°D．30°
【答案】B
【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=64°，由直角三角形的性质求出∠CDE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=∠ODC+∠OCD=128°，
∴∠ODC=∠OCD=12×128°=64°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-∠DCE=26°，故B正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB=72°，则∠DMA的大小为（ ）

A．72°B．54°C．36°D．22°
【答案】B
【分析】先利用矩形的性质得到AB∥CD，则利用平行线的性质可计算出∠CAD=72°，再由作法得AH平分∠CAD，所以∠MAD=12∠CAD=36°，然后根据三角形的内角和定理得到∠DMA的度数．
【详解】解：在长方形ABCD中，
∵AB∥CD，∠ACB=72°，
∴∠CAD=∠ACB=72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠MAD=12∠CAD=36°，
∵∠D=90°，
∴∠DMA=90°-36°=54°，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．
【变式3】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°S2C．S1