安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷

这是一份安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了记的内角的对边分别为，已知，已知圆，圆，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．与相交
4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆，圆，则（ ）
A．两圆的圆心距的最小值为1
B．若圆与圆相切，则
C．若圆与圆恰有两条公切线，则
D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2
10．已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
11．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数为奇函数
C．当时，函数恰有两个零点
D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，的系数为_________．
13．抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则_________．
14．已知实数，满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求与平面所成角的正弦值．
16．（15分）
已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
17．（15分）
树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．
（1）证明：；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附：．
18．（17分）
已知曲线在点处的切线为．
（1）求直线的方程；
（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；
（3）设，求证：．
19．（17分）
在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记
，
称为点与点之间的“-距离”，其中表示中较大者．
（1）计算点和点之间的“距离”；
（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；
（3）证明：对任意点．
2024年合肥市高三第二次教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．AD 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．15 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．解析：（1）如图所示，取的中点，连接．
因为是正三角形，所以．
又因为平面底面平面，
所以平面，且．
又因为是的中点，到平面的距离为，
．
所以三棱锥的体积为．
（2）连接，因为，
所以为等边三角形，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
所以．
设与平面所成角为，则．
即与平面所成角的正弦值为．
注：其他解法酌情赋分．
16．解析：（1）因为，所以，再将点代入得，
解得，故粗圆的方程为；
（2）由题意可设，
由可得，
所以，
又因为，
所以直线的方程为，令，则，故，
同理，
从而，
故．
注：其他解法酌情赋分．
17．解析：（1）
,
同理．
所以
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，
则，
所以
又，所以．
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．
（3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布，
所以．
．
故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等
级．
注：其他解法酌情赋分．
18．解析：（1）因为，
所以，
所以直线的方程为：
（2）令，则
，令，则，由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方．
（3）由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，
由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．
注：其他解法酌情赋分．
19．解析：（1）由定义知，；
（2）设是以原点为圆心，以为半径的-圆上任一点，则．
若，则；
若，则有．
由此可知，以原点为圆心，以为半径的圆的面积为4
（3）考虑函数．
因为，所以在上单调递增．
又，于是
，
同理，．
不妨设，则
注：其他解法酌情赋分．性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19