河南省卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

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单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知复数，则的虚部为
A．B．C．1D．
2．已知，则是“与的夹角为钝角”的 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要D．既不充分也不必要
3．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为
A．B． C． D．
4．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为
B．C．D．
5．已知非零向量，满足，且，则的形状是
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
6．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为
A．2 B．3 C． D．5
如图，中，，，．在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
8．“阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为
A． B．C．D．
二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.在直三棱柱中，，，，点在线段上，则的
A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为
10．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
A．若，，则B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为D．若，则周长的取值范围为
11．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则
A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值
三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 ．
13．在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是 ．
14．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ．
解答题.(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．（13分）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，，，是上的一个动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值．
16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角； （2）若，求的周长的最大值．
17．（15分）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求点，之间的距离．
18．（17分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，，，作：，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为，；当，共线时，规定，．
（Ⅰ）分别根据下列已知条件求，
①，；②，；
（Ⅱ）若向量，，，
求证：，，，；
（Ⅲ）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（ⅰ）当时，求，，的最大值；（ⅱ）写出，，，的最大值．（只需写出结果）
2023-2024学年高一下期中数学模拟试卷
（答案）
单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1-4CBAA 5-8CAA
二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.BD 10.ACD 11.ABC
三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共20分.
12． 13 13.．14
解答题。本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15【解答】解：（1）连接，在中，，，，
由余弦定理得：
，
，设圆柱底面半径为，
由正弦定理得，，
圆柱的表面积．
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理得：
，即，
当且仅当时，等号成立，
，
，，
四棱锥的体积：
，
四棱锥的体积的最大值为．
16.【解答】解：（1）因为，
所以，即，由余弦定理得，由为三角形内角得；
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，解得，
故周长的最大值为．
17.【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，所以，
所以的面积为．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．即点，之间的距离为．
18.【解答】解：（1），
由正弦定理和余弦定理得，
整理得，，又是三角形内角，；
（2）为锐角三角形，则，，，
又，
，
，
，，，
，当时，，当，，，
，
，即的取值范围为，．
19.【解答】（1）解：因为，
且，所以；
又，
是；
（2）因为向量，且向量，
则，所以，
同理．所以；
（3）设，因为，
所以，
所以，．
当，即时，取得最大值；
的最大值为．