黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题

这是一份黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，已知,则，004B等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则
A.B.C.D.
2.已知复数满足,则
A.2B.1C.D.
3.已知向量,若,则
A.B.C.D.
4.圆与圆的位置关系是
A.相交B.外切C.内切D.相离
5.已知,则
A.B.C.D.
6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表,这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积,即.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为,第二次的“晷影长”是“表高”的3倍,且,则的值为
A.B.C.4D.13
7.已知抛物线的焦点为,动点在上,点与点关于直线:对称,则的最大值为
A.B.C.D.2
8.已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上,平面平面,则球的表面积为
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.2023年10月26日,神舟十七号载人飞船成功发射,中国航天再创辉煌.为普及航天知识,弘扬航天精神,某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况,从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计(满分:100分),得到如下的频率分布直方图,则
注:同一组中的数据用该组区间中点值代表.
A.图中的值为0.004B.估计样本中竞赛成绩的众数为70
C.估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分D.估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
10.某杂交水稻种植研究所调查某地所种植的超级杂交水稻的株高(单位:)的情况,得出,且大于120的概率为0.1.现从中随机选取20棵超级杂交水稻,记其中株高在区间[80,100]的水稻棵数为随机变量,则
A.B.C.D.
11.已知函数的导函数为,且为奇函数,若,则
A.B.的一个周期为2C.D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.某智能手机的开机密码是六位数字,现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码,若要求两个2不相邻,两个0相邻,则不同的开机密码总个数为____________.(答案用数字表示)
13.已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是____________.
14.如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,点M,N在上,,则的离心率为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直,求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
16.(本小题满分15分)
如图,在正三棱柱中,,点为AC的中点.
(1)求证：//平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17.(本小题满分15分)
中华茶文化源远流长,博大精深,不但包含丰富的物质文化,还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中,在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工,其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为,每道工序的加工都相互独立,且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶,恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶,恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶,其余的为不合格绿茶.
(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,求杀青加工合格的概率;
(2)每盒绿茶(净重)原材料及制作成本为30元,其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元,60元,40元,而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元,求随机变量的分布列及数学期望.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线的焦距为,点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于A,B两点,点与点关于轴对称,点在轴上的投影为点.
(ⅰ)求|m|的取值范围；
(ⅱ)求证：直线BE过点.
19.(本小题满分17分)
已知数列的各项均为正整数,设集合,,记的元素个数为.
(1)若数列A:1,3,5,7,求集合,并写出的值;
(2)若是递减数列,求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列,求证:.
参考答案
一、选择题
1.B【解析】由题得且,则.故选B.
2.D【解析】因为,所以,所以,所以.故选D.
3.C【解析】因为,所以,得,所以,所以.故选C.
4.A【解析】由已知得圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,故,所以圆与圆相交.故选.
5.A【解析】由题得,而,所以,所以.故选A.
6.B【解析】由已知得,易得,所以,解得或(舍去),故.故选B.
7.B【解析】由已知得,设,则,解得,故,故点为的准线与轴的交点,设,作垂直于的准线于点,由抛物线的定义可得,故,当直线MB与相切时,最小,取得最小值,则取得最大值,设切线MB的方程为,联立,整理可得,则,可得,所以直线MB的斜率为,所以倾斜角为或,又为锐角,所以,所以,所以.故选B.
8.C【解析】如图,取BC的中点为E,BD的中点为,所以为的外心,连接AE,EF,设的外心为,则点在AE上.设球心为,连接OG,OF,所以平面平面BCD,因为平面平面BCD,所以,因为为等边三角形,为BC的中点,所以,因为平面平面BCD,平面平面,所以平面BCD,所以,又平面BCD,所以,同理平面ABC,所以,故四边形OGEF是矩形.由,可得,故.又.设球的半径为,则,所以球的表面积.故选C.
二、选择题
9.ACD【解析】由题得,故A正确;由频率分布直方图可知,最高矩形对应区间的中点为75,则估计众数为75,故B错误;样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12,故平均成绩不可能超过80分,故C正确;设样本中竞赛成绩的第75百分位数为,前2组频率之和为0.16,前3组频率之和为,故位于第3组,于是得,解得,故D正确.故选ACD.
10.BC【解析】因为,且大于120的概率为0.1,所以由对称性可得,A错误;,由题意可知,故,B,C正确;错误.故选BC.
11.AC【解析】因为为奇函数,所以,对于,令,可得,则,故正确;对于,由,得,又已知,则,即,所以,即的一个周期为4,故B错误;对于,由,两边求导得,令,得,则,故C正确;对于,由,两边求导得,令,得,由,两边求导得,故的一个周期为4,则,故,故D错误.故选AC.
三、填空题
12.36【解析】将两个0捆绑,视为1个元素,再与3,4混排,有种不同的排法,再将两个2插入,有种排法,故不同的开机密码总个数为.
13.【解析】当时,,又的单调递减区间为,所以,解得,且,解得,又,所以0,所以的取值范围为.
14.【解析】设,由,得,又,所以,由椭圆的定义知,所以12m,于是得,所以,所以,得,故,所以.
四、解答题
15.解:(1)由题得,的定义域为.
.(2分)
的图象在点处的切线与直线l:2x垂直,
,（4分）
解得.(5分)
(2)由(1)知.
①当时,恒成立.
在上为减函数,(7分)
无极值;(8分)
②当时,由,得,
由,得,(10分)
在上单调递减,在上单调递增,
故的极小值为.(12分)
综上可得,当时,在上为减函数,无极值;当时,在上单调递减,在上单调递增.
的极小值为,无极大值.(13分)
16.解:(1)连接与交于点,连接DE,
在正三棱柱中,四边形是矩形,所以点是的中点,
又点是AC的中点,所以.(3分)
又平面平面,
所以平面.(6分)
(2)取的中点,连接DF,
因为为等边三角形,点为AC的中点,所以.(7分)
如图,以点为原点,分别以DB,DC,DF所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系Dxyz.
则,,
设平面的一个法向量为,
则
令,得.(10分)
取BC的中点为,连接AG,
则在正中,,则平面,
又,则.(12分)
设平面与平面的夹角为,
则,
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.解:(1)因为茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为,
所以,
解得.(2分)
记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A,B,C,这三道工序加工中恰有两道工序合格记为事件,
则
（5分）
所以,
即在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,杀青加工合格的概率为.（8分）
(2)由题意可知随机变量的所有可能取值为,(9分)
,
,
,
,(13分)
则随机变量的分布列为:
故的数学期望为.(15分)
18.解:(1)由已知得
解得,(3分)
所以的方程为.（4分）
(2)(i)设,则,联立,
消去得,
则,
解得,且.
又与的右支交于A,B两点,的渐近线方程为,
则,即,
所以|m|的取值范围为.(9分)
(ii)由(i)得,
又点在轴上的投影为,所以,(12分)
所以
,
所以,
又有公共点,所以B,G,E三点共线,所以直线BE过点.(17分)
19.解:(1)因为,
所以集合.(3分)
(2)充分性:若为等差数列,且是递减数列,则的公差为,
当时,,所以,
则,故充分性成立.(6分)
必要性:若是递减数列,,则为等差数列,
因为是递减数列,
所以,
所以,且互不相等,
所以,又因为,所以且互不相等,
所以,
所以,
所以为等差数列,必要性成立.
所以若是递减数列,“”的充要条件是“为等差数列”.(10分)
(3)由题意集合中的元素个数最多为个,
即,(11分)
对于数列,此时,(12分)
若存在,
则,其中,
故,(14分)
若,不妨设,则,而,故为偶数,为奇数,矛盾,
故,故,(16分)
故由得到的彼此相异,
故.(17分)-30
10
3
60