上海市进才中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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(时间 120 分钟, 满分 150 分)
(2024 年 4 月)
一、填空题（本大题满分 54 分）共有 12 题, 1-6 题每题 4 分, 7-12 题每题 5 分.
1. 若 Pn2=Cn+1n−1, 则 n!=
2. 已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ∼B4,13, 则 Pξ=2=
3. 已知圆锥的母线长为 6 , 其侧面展开图是一个圆心角为 2π3 的扇形, 则该圆锥的体积为
4.已知 1−2x4=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5, 则 a1 的值为 .
5. 已知点 M3,1 在圆 C:x−12+y+12=r2r>0 内, 过点 M 的直线被圆 C 截得的弦长最小值为8, 则 r= .
6. 高二年级进行消防知识竞赛, 统计所有参赛同学的成绩, 如下图所示,成绩都在 50,100 内, 估计所有参赛同学成绩的第 75 百分位数为 .
7. 如果一条直线与一个平面垂直, 那么称此直线与平面构成一个“正交线面对".在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
8. 某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛, 约定 “七局四胜制”, 即先胜四局者获胜. 若每一局比赛乙获胜的概率为 12, 事件 A 表示“乙获得比赛胜利”, 事件 B 表示“比赛进行了七局”, 则 PB∣A= . 516
9. 如图, 棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, 点 E 为 A1B1 的中点,则下列说法正确的是 .
(1) DE 与 CC1 为异面直线
(2) DE 与平面 BCC1B1 所成角的正切值为 24
(3)过 D,C,E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
(4) 线段 DE 在底面 ABCD 的射影长为 210. 某校中学生篮球队集训前共有 6 个篮球, 其中 3 个是新球 (即没有用过的球), 3 个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练都从中任意取出 2 个球, 用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球, 则第二次训练时恰好取到 1 个新球的概率为 .
11. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2, 过 F1 作一条渐近线的垂线交双曲线 C 的左支于点 P, 已知 PF1PF2=25, 则双曲线 C 的渐近线方程为 .
12. 至少通过一个正方体的 3 条棱中点的平面个数为 .
二、选择题 (本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案.
13. 设 m,n 分别是平面 α,β 的法向量, 直线 l 的方向向量为 d, 以下结论错误的是 ( )
A. 若 m⊥n, 则 α⊥β
B. 若 m⊥d, 则 l//α
C. 若 m//d, 则 l⊥α
D. 若 m//n, 则 α//β 或 α,β 重合
14. 已知点 F0,4 是抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点, 点 P2,3, 且点 M 为抛物线 C 上任意一点, 则 MF+MP 的最小值为 ( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
15. 有 5 张相同的卡片, 分别标有数字 1,2,3,4,5, 从中有放回地随机取两次, 每次取 1 张卡片, A1 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为 2”,A2 表示事件 “第一次取出的卡片上的数字为奇数”, A3 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为 6 ”,A4 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为 7 ”, 则（）
A. A3 与 A4 为对立事件
B. A2 与 A4 为互斥事件
C. A2 与 A4 为相互独立事件
D. A1 与 A3 为相互独立事件
16. 下列结论正确的有 ( )
A. 将总体划分为 2 层, 通过分层随机抽样, 得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x1,x2 和 s12, s22, 若 x1=x2, 则总体方差 s2=12s12+s22
B. 96,90,92,92,93,93,94,95,99,100 的第 80 百分位数为 96
C. 若随机变量 X∼B5,23, 则 D3X+1=11
D. 若随机变量 ξ∼N3,σ2,Pξ≤1=0.23, 则 Pξ≤5=0.77
三、解答题 (本大题满分 76 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知x+2x2n的展开式中,第2项的系数与第3项的系数之比是1:9.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,在几何体P−ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,AD=2,AB=BC=1.
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)若PC与平面ABCD所成的角为π3,求点A到平面PCD的距离.
19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
为促进物资流通,改善出行条件,“驻大别山扶贫工作组”引入资金新建了一条从该山区到市区的快速道路.该地区脱贫后,工作组为了解该快速道路的交通通行状况,调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆,对行车速度进行统计后,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)试根据频率分布直方图,求a的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布Nμ,σ2,其中μ,σ2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差s2(经计算s2=14.52).
(i)请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位);
(ii)现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆,设车速低于85千米/时的车辆数为X,求X的数学期望.
附注:若ξ∼Nμ,σ2,则Pμ−σ<ξ≤μ+σ=0.6827,Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ=0.9545,Pμ−3σ<ξ≤μ+3σ=0.9973.
20.(本满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,由部分椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,y≤0和部分双曲线x2a2−y2b2=1y≥0,组成的曲线C称为“盆开线".曲线C与x轴有A2,0、B−2,0两个交点,且椭圆与双曲线的离心率之积为74.(1)设过点1,0的直线l与C相切于点M4,3,求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线l的方程;
(2)过A的直线m与C相交于点P、A、Q三点,求证:∠PBA=∠QBA.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
在椭圆(双曲线)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心,半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根,则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙旦圆的面积为13π,该椭圆的上顶点和下顶点分别为P1,P2,且P1P2=2,设过点Q0,12的直线l1与椭圆E交于A,B两点(不与P1,P2两点重合)且直线l2:x+2y−6=0.(1)求椭圆E的标准方程;
(2)证明:AP1,BP2的交点P的纵坐标为定值;
(3)求直线AP1,BP1,l2围成的三角形面积的最小值.