第四章 模型2四边形或多边形背景下的解三角形模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】以四边形或多边形为载体而呈现出的解三角形问题是近年来新高考的热点问题之一，让边角关系的呈现方式更加隐蔽、多样为特色，解题关键在于挖掘题设条件关系，寻找可解三角形，再充分的进行边角关系转化，让最终问题得到解决．
【解决方法】
【典例1】（2024海南定安中学8月开学考试）如图1，已知平面四边形存在外接圆，且．
图1
（1）求的面积；
（2）若，求的周长．
【套用模型】（1），第一步：分析要求的面积缺少哪些必要条件．
已知，则求出即可求出的面积．
第二步：在四边形中，根据求．
因为平面四边形存在外接圆，
所以，
【挖掘条件】平面四边形存在外接圆，则对角互补，即
又，所以，
第三步：将求得的的值代入三角形面积公式求解．
所以．
（2），第一步：分析要求的周长缺少哪些必要条件．
中，，但长度未知，可在中求出．
【找突破口】在多边形中解三角形，三角形的公共边往往是解题的关键
第二步：在中，由余弦定理求．
在中，由余弦定理得，所以．
第三步：回到，根据余弦定理及求出的列方程求得，得解．
在中，由余弦定理得，
又，则，解得．
所以的周长为．
【典例2】（2024湖南师大附中9月月考）在梯形中，，，
．
（1）求的值；
（2）若的面积为4，求的长．
（1）在中，，
由正弦定理得，则．
（2）【套用模型】第一步：分析要求缺少哪些必要条件．
在中，，的面积为4，如果能够求出，则可以进一步求出，进而求出．
第二步：在梯形中，根据平行关系求解．
因为为锐角，所以．
所以．
【会变换】，则，又，所以，据此求解
第三步：回到，根据三角形面积公式求解，再根据余弦定理求解．
因为，所以．
因为为锐角，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
【典例3】（2024四川沪县一中8月开学考试）如图2，平面四边形中，与相交于点．
图2
（1）求的面积；
（2）求的值及的长度．
（1），【套用模型】第一步：分析要求的面积缺少哪些必要条件．
在中，和均未知．
第二步：在中，根据勾股定理及三角函数的定义求解和．
，
第三步：回到，结合三角形面积公式得解．
．
（2），【套用模型】第一步：分析求及缺少哪些必要条件．
考虑在中求解，在中求解．
是等腰三角形，且顶角的外角余弦值易求，
求出，则可以在中由正弦定理求．
第二步：结合外角和角度关系求解和．
，，，，，
．
【易错】求解三角形内角的余弦值时要特别关注能否取到负值，需要具体问题具体分析
又，在中，，，，则
．
【依据】互补的两个角的正弦值相等，展开时十分容易出错，注意仔细检查
第三步：在中，结合正弦定理求解．
由正弦定理，可知．
（2024高三上·全国·专题练习）
1．如图，在平面四边形中，．记的面积为，的面积为．，则S的最大值为 ．
（23·24高三上·江苏盐城·阶段练习）
2．如图，在平面凸四边形中，，，，，为钝角，则对角线的最大值为 .
（23·24高三下·福建龙岩·期中）
3．如图，设的内角所对的边分别为，，且，若是外一点，，，则当四边形的面积最大时， ．

（23·24高三下·黑龙江牡丹江·阶段练习）
4．如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为 .

（2024·河南安阳·校联考一模）
5．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
(1)证明：3csA－4csC＝1；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12＋S22的最大值．
（2024·广东深圳·深圳外国语学校二模）
6．如图．在平面四边形中，．
（1）设，证明为定值．
（2）若，记的面积为，的面积为．，求S的最大值．
（2024·广东·校联考模拟预测）
7．在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．
(1)若cs∠CBD＝，求；
(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值．
（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）
8．凸四边形是四个内角都小于的四边形．如图，凸四边形中，，，是等腰直角三角形，，设．
(1)求的取值范围；
(2)设四边形的面积为S，求的解析式，并求S的最大值．
（2024·高三上·江苏泰州·期中）
9．如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
（2024·江苏南通·高三统考期末）
10．在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
参考答案：
1．##
【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公式中，可得的表达式，由二次函数性质可求得最大值.
【详解】在和中，由余弦定理有
，
则，．
，
当时，S取得最大值．
故答案为：.
2．##
【分析】可设出，利用余弦定理表示出可得，结合正弦定理找到与的关系，进而表示出，结合三角函数运算即可得.
【详解】方法一：设，
，
，，
，
中，
，当且仅当时等号成立，.
方法二：设，，由，
则，
，
，当且仅当时等号成立，
.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键在与如何借助已知条件将线段表示出来，可以设出未知角度，借助正余弦定理将所需条件一一计算出来，最后借助三角函数性质得到最值.
3．##
【分析】利用三角函数恒等变换的公式化简求得，进而求得，设，在中，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，求得四边形的面积为，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，可得，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以，
在直角中，设，则，
在中，由余弦定理可得，
因为，代入上式可得，所以，
所以四边形的面积为
，（其中），
所以当时，四边形的面积取得最大值，
此时，所以.
故答案为：.
4．6
【分析】先根据正弦定理和余弦定理得到，由基本不等式得到，求出，，为等边三角形，设，表达出，，，在中，由余弦定理可得，从而得到答案.
【详解】，
由正弦定理得，
由余弦定理得，代入上式中，
，
整理可得，
又，当且仅当，即时，等号成立，
故，
由于，所以，
因为，所以，
又此时，故为等边三角形，
设，
那么由余弦定理得
，
即，故，
在中，由正弦定理得，即，
整理得，
因为，所以为锐角，那么，
则，
在中，由余弦定理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为6.
故答案为：6
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)在和中分别利用余弦定理表示出，列出方程整理即可；
(2)根据三角形的面积公式分别求出的表达式，结合二次函数的性质求出函数的最大值即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以．
（2），
则，
由（1）知：，代入上式得，
配方得，因为，
∴当时，取到最大值．
6．（1）证明见解析；（2）最大值．
【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，在中，由余弦定理即可证明为定值；
（2）利用余弦定理可得，，整理即可得出答案.
【详解】（1）证明：设，则．
在中，因为，所以．
在中，由余弦定理，
即，
则，即，
故为定值．
（2）解：在中，，
则，．
，
当时，S取得最大值．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.
（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.
【详解】（1）
如图，，设，，得
，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，
（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，
四边形ABCD的面积为，得
.
当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.
8．(1)
(2)，；最大值为
【详解】（1）由，，可得，则
由四边形中四个内角都小于，可得
又△中，
则
则，解之得
又，则
（2）△中，
则四边形的面积
其中，，
又因为，则
所以当时，S最大值为
9．(1)
(2)
【分析】
(1)先利用余弦定理得到，根据边的关系得到AB⊥DB，进而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 设∠ADB=θ，利用余弦定理分别求出,相加后整理变形得到关于角的三角函数，利用正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）
在△ABD中，因为，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此时Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）设∠ADB=θ，由题意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因为，所以，
所以，
因为，所以，，
所以的取值范围是．
10．(1)；
(2)．
【分析】(1)四边形ABCD面积由两个三角形面积组成，表示出面积，用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最大值.
(2)对角线长由余弦定理表示为，结合正弦定理，用辅助角公式化简求取值范围.
【详解】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．
在三角形BCD中，由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以四边形ABCD的面积，即最大值为；
（2）设，
在三角形BCD中，由正弦定理得，
，所以，
在三角形ABC中，由余弦定理得，
，
因为，所以，所以．