第五章 模型1用综合法快解新情境背景下的数列创新题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】高考创新题，向来是高考试题中最为亮眼的风景线，其中数列作为创新问题设置的重要载体，是高考创新题命题的热点之一，其创新性的呈现形式是多种多样的，但其求解方法也是有章可循的，例如用综合法就可以处理新情境背景下的数列创新题.
【解决方法】
【典例1】（有界数列与无界数列|2024广东深中、华附、省实、广雅四校8月第一次联考|多选）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则数列是无界的
B.若，则数列是有界的
C.若，则数列是有界的
D.若，则数列是有界的
【套用模型】
第一步：整体审题，提取信息.
题设关键信息是“有界数列”的定义，选项中给出了不同的数列.
第二步：结合信息，确定解题方向、方法.
通过定义，得到如何判断“有界数列”的方法，即判断数列通项的绝对值是否不大于某个常数.
第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.
第四步：给出结论.
综上所述，选BC.
【典例2】（2024重庆一中8月入学考试）正项数列的前项的积为，的前项的积为，若是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记数列的前项的和为，证明：.
【套用模型】
第一步：整体审题，提取信息.
已知有两条关键信息，一是数列的前项的积为，另一个是数列是公差为1的等差数列，据此可求出的表达式，即递推关系式.
第二步：结合信息，确定解题方向、方法.
根据是公差为1的等差数列，又易推出首项为1，再结合正项数列的前项的积为，即可求得两者间的关系.
第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.
因为数列的前项的积为，所以，
又是公差为1的等差数列，所以，即，.
当时，，所以；当时两式相除，得，即.
【易错提醒】因为的前提是，所以探求时要注意分类讨论，再验证总结
第四步：给出结论.
又满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，所以，所以.
，，
因为当时，，
所以当时，，所以.
【典例3】（2024湖南长沙名校8月第一次质量检测|多选）若数列中任意连续三项，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（ ）
A.等比数列：1，，，，，…是跳跃数列
B.数列的通项公式为，数列是跳跃数列
C.等差数列不可能是跳跃数列
D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比
【套用模型】
第一步：整体审题，提取信息.
题设关键信息是“跳跃数列”的定义，选项中给出了不同的数列.
第二步：结合信息，确定解题方向、方法.
通过定义，得到如何判断“跳跃数列”的方法，题设关键信息是跳跃数列的定义，通过相邻三项的关系进行运算，判断跳跃数列.
第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.
对于A，等比数列1，，，，，…的通项公式为，
那么.，
由跳跃数列的定义知，等比数列1，，，，，…是跳跃数列，故A正确.
对于B，数列的前三项为，，，不符合跳跃数列的定义，（【点技巧】判断不正确，只需找到反例），故B错误.
对于C，当等差数列的公差时，它是递增数列；时，它是递减数列；时，它是常数列.
所以等差数列不可能是跳跃数列，故C正确.
对于D，若等比数列是跳跃数列，则，整理得，即，
若等比数列的公比满足，则，
可得，所以等比数列是跳跃数列，故D正确.
第四步：给出结论.
故选ACD.
一、单选题
（23-24高三下·重庆·期中）
1．定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
（23-24高三上·四川绵阳·一模）
2．若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是 “平方递推数列”D．是 “平方递推数列”
（23-24高三上·上海普陀·期末）
3．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若为“s数列”，则为“t数列”
B．若，则为“t数列”
C．若，则为“s数列”
D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”
二、多选题
（2023·江苏苏州·三模）
4．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（ ）
A．B．
C．D．
（2024·山东烟台·一模）
5．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
（2023·云南·模拟预测）
6．在数列中，（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
（2023·浙江金华·模拟预测）
7．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列”B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列”D．若是等比数列，则是“线性数列”
（2023·浙江·二模）
8．定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列D．数列为有界正数列
三、解答题
（23-24高三上·湖北武汉·期末）
9．若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.
（2024·黑龙江·二模）
10．如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
（2023·广东佛山·模拟预测）
11．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
（2023·广东汕头·三模）
12．设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
A
恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的
×
B
，，，，
【易错提醒】因为需要考虑绝对值，有同学认为，所以有界，结果看似正确，但这是不完整的
存在正数，使得恒成立，数列是有界的
√
C
，当为偶数时，；当为奇数时，.存在正数，使得恒成立，数列是有界的
√
D
，.在上单调递增，，
不存在正数，使得恒成立，数列是无界的
×
参考答案：
1．B
【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，
故，
将以上各式累乘得：，
故，令，由于，
故，即，
又的值随n的增大而增大，且，
当时，，
当时，，
故n的最小值为8，
故选：B
2．C
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.
又， 所以 则，，
所以，不是等差数列， 所以AB不正确.
对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.
对于D，因为 ，
所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.
故选：C
3．C
【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确；
设，取，可判定D错误.
【详解】设，此时满足，
也满足，，
即，，为“s数列”，
因为，所以A错误；
若，则，满足①，
，令，
若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，
若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误；
若，则，满足①，
，，
因为，所以，，满足②，所以C正确；
不妨设，满足，且，，
当为奇数，取，使得；
当为偶数，取，使得，所以为“数列”，
但此时不满足，，不妨取，
则，而，
则为“数列”，所以D错误.
故选：C.
4．AD
【分析】根据“数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由的个位数上奇偶性判断C.
【详解】A：由，要且，
所以，只需，显然对任意的，总存在，满足“数列”.
B：由，显然，不满足“数列”.
C：对于任意，，个位数为均为奇数，所以必为偶数，显然不成立，不满足.
D：由，
，
故对任意的，总存在，满足“数列”.
故选：AD
5．BC
【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
6．BC
【分析】根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.
【详解】对于A，因为，，，
，所以不是等方差数列，故A错误；
对于B，因为，，，
所以，，
因为 是等比数列，所以，所以，
所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；
对于C，设等比数列的公比为，则，
则当时，，若为常数，则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确；
对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，则当时，且，
若，则，则，不合题意，
若，则，得，又，
所以为常数，必有，与假设矛盾，
故存在数列既是等差数列，又是等方差数列.故D错误；
故选：BC
7．ABD
【分析】对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C，找特例，代入即可判断；D，结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可.
【详解】对A，数列为等差数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，A正确；
对B，数列为等比数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，B正确；
对C，是等差数列，设，
则，若是“线性数列”，
则，则应有，
故不是“线性数列”，C错误；
对D，是等比数列，设首项为，公比为，
若时，，则，满足“线性数列”的定义；
若时，由，得，
，
累加的，
则，
经验证当时，满足，则，
若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，
则，
，
，
则，则，
则是“线性数列”，D正确.
故选：ABD
8．BC
【分析】对于A，设，求导后放缩为，从而可知当时，单调递减，即可判断；对于B，由可知数列为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式，从而可得，即可得到，从而可判断.
【详解】对于A，设，，
当时，，则，
所以当时，，则当时，，
所以当时，单调递减，A错误；
对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
所以，即，
由，
所以，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于A，借助不等式进行放缩，而对于C，借助不等式进行放缩，从而可利用裂项相消法求和.
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，求出和，求出和的关系即可证明；
（2）由（1）求出，求出，设数列即可证明.
【详解】（1）设，则，
.
因此数列是首项为，公比为的等比数列，且；
（2）由（1），，所以，
取数列，则是等比数列，
并且，因此集合，
所以数列具有性质.
10．(1)不是“型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.
【详解】（1）易知当时，可得，即；
而当时，，可得；
此时，不满足“型数列”定义，
猜想：数列不是“型数列”，
证明如下：
由可得，当时，，
两式相减可得，可得，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；
（2）设数列的公比为，易知，
又因为数列不是“型数列”，可得
可得，即得；
又数列为“型数列”，可得；
易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；
综上可得，即，可得；
所以数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可得，可得；
所以数列的通项公式为.
11．(1)（答案不唯一），证明见解析；
(2)63
【分析】（1）取，验证即可；
（2）当时，，根据速增数列的定义可得，从而可得，进而可求解.
【详解】（1）取，
则，，
因为，所以，
所以数列是“递增数列”.
（2）当时，
，
因为数列为“速增数列”，
所以，且，
所以，
即 ，
当时，，
当 时，，
故正整数的最大值为63 .
12．(1)不是“紧密数列”，理由见解析
(2)数列是“紧密数列”，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可；
（2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”；
（3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1），所以不是“紧密数列”；
（2）数列为“紧密"数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，因此，
所以对任意，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，
所以，满足题意；
当时.，
因为为“紧密"数列，所以.即或，
当时，，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密"数列；
综上，实数的取值范围是.