广东省佛山市禅城区明德中英文学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的判断．根据轴对称图形寻找对称轴，使得图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
【详解】解：．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【详解】因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握不等式的定义进行判定．
3. 等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ）
A. B. C. 或D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．
【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），
所以该三角形的周长是20 cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
4. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，故正确，符合题意；
B、∵，∴当时，，故错误，不符合题意；
C、∵，∴，故错误，不符合题意；
D、∵，∴，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
5. 已知△ABC内部有一点P，且点P到边AB、AC、BC的距离都相等，则这个点是（ ）．
A. 三条角平分线的交点B. 三边高线的交点
C. 三边中线的交点D. 三边中垂线的交点
【答案】A
【解析】
【详解】根据角平行线的性质，即：角平分线上的点，到角的两边的距离相等，这个点是三边角平分线的交点，
故选A．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. x=1是不等式-2x＜1的一个解B. x=3是不等式-x＜1的解集
C. x＞-2是不等式-2x＜1的解集D. 不等式-x＜1的解集是x＜-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解与解集的定义逐项分析即可.
【详解】A. =1是不等式-2＜1的一个解，故正确；
B. =3是不等式-＜1的一个解，故不正确；
C. 是不等式-2＜1的解集，故不正确；
D. 不等式-＜1解集是>-1，故不正确；
故选A
【点睛】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解.一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集.
7. 中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵，
∴设，则，
∵，即，解得，
∴，
∴为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵，
∴设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴不直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
8. 如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离.
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=2：1，BC=6，
∴DC=×6=2，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，
∴DE=DC=2．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.
9. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有 个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
10. 若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围为（ ）
A. m＜4B. m≤4C. m≥4D. m＞4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：
∵解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x＜m＋1，
又∵不等式组的解集为x＜5，
∴m＋1≥5，
解得：m≥4，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
二．填空题（共7小题，共28分）
11. 用不等式表示“x与1的和是负数”______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是掌握用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小)于)、不超过（不低于)、是正数(负数)、至少、最多”等等，正确选择不等号．
先表示出“与1的和”，然后确定不等号，列出不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
12. 如果等腰三角形的一个角是30°，那么它的顶角是__________．
【答案】或##30度或120度
【解析】
【分析】注意在等腰三角形中的角可能是顶角也可能是底角，分类分析即可求得答案．
【详解】解：①如果是顶角，则底角为；
②如果是底角，则顶角为．
故它的顶角是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
13. 若，则____．（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】<
【解析】
【分析】根据不等式的运算法则判断即可；
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：<
【点睛】本题主要考查不等式的运算法则，值得注意的是当不等式两边同时乘（或除）一个负数时，不等号方向要改变．
14. 将点先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，则得到点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标的平移，根据坐标系中的平移规律：某点向右(或左)平移m个单位，则原横坐标加(或减)m即为新横坐标，某点向上(或下)平移n个单位，则原纵坐标加(或减)n即
为新纵坐标．
【详解】解：将点先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，则得到点的坐标为，即，
故答案为：．
15. 如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若BF＝11，EF＝8，则EC的长是 ___．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，，利用线段的和差即可求解．
【详解】解：根据平移的性质可得，，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查平移的性质，平移前后对应边的长度相等．
16. 如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE=3，根据角平分线的性质即可证得PD=PE=3.
【详解】解：过P作PE⊥OB，
∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，
∴∠AOP=∠BOP=22.5°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP=22.5°，
∴∠PCE=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得∠PCE=45°是解题的关键．
17. 如图，已知中，，，将绕点逆时针反向旋转到的位置，连接，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质．连接，交于，如图，利用等腰直角三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，，则可判断垂直平分，为等边三角形，所以，，然后计算即可．
【详解】解：连接，交于，如图，
中，，，
，
绕点逆时针反向旋转到的位置，
，，，，
垂直平分，为等边三角形，
，，
．
故答案为：．
三．解答题一（18题6分，19、20题每题8分，共22分）
18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
在数轴上表示如图所，
19. 如图，在中．

（1）实践与操作：作的垂直平分线，交于D，交于E；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，连接这两点，交于D，交于E；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：

如图，为所求作的垂直平分线；
【小问2详解】
解：

∵ 是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，尺规作图—垂直平分线，掌握这些知识点是解题的关键．
20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点O的中心对称图形；
（2）将绕点E逆时针旋转得到，画出；
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【小问1详解】
解：如图，即所求；
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
四．解答题二（每题9分，共18分）
21. 如图，的高、交于点O，
（1）求证：是等腰三角形．
（2）连接，证明平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得出，求出，即可证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出，根据等腰三角形判定得出，证明，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵、为的高，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，
22. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为．
（1）求，，的值；
（2）若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围 ；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法、一次函数的图象与性质，求直线围成的图形面积；熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．
（1）将点代入函数可得的值，再将点的坐标代入函数求解即可得；
（2）结合函数图象，根据点的坐标求解即可得；
（3）先求出，从而可得，再根据三角形的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
解：将点代入函数得：，
将点，代入中，得：，解得．
故；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，若函数的函数值不大于函数的函数值，则，
故答案为：．
【小问3详解】
解：对于一次函数，
当时，，即，
∴，
∵，
∴的边上的高为1，
∴的面积为．
五．解答题三（23题10分，24题12分，共22分）
23. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元.
(1)求篮球和足球的单价分别为多少元？
(2)根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元.请问有几种购买方案？
(3)若学校购买这批篮球和足球的总费用为(元)，在(2)的条件下，求哪种方案能使总费用最小，并求出的最小值.
【答案】（1）120，90；（2）11种；（3）购买篮球40，足球60个时，y最小值为10200元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答；
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（3）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．
解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，由题意得：
2x+3（x﹣30）=510，
解得：x=120，
∴一个篮球120元，一个足球90元．
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，
由题意可得：，
解得：40≤x≤50，
∵x为正整数，
∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11种购买方案．
（3）由题意可得y=120x+90（100﹣x）=30x+9000（40≤x≤50）
∵k=30＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200（元），
所以当x=40时，y最小值为10200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题．
24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
（1）求出__________；
（2）若平分，求点的坐标；
（3）已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
【答案】（1）40 （2） 或
（3）或.
【解析】
【分析】（1）先求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（2）设根据平分可得，再根据两点之间的距离公式求出的值即可得点的坐标.
（3）设,分两种情况讨论：①当且时；②当,且时.画出图形，构造三垂直模型，根据全等三角形的对应边相等列出关于的方程组，求出的值即可求得点的坐标.
【小问1详解】
如图1，作轴与，
∵，
轴，点是在直线，
【小问2详解】
设
平分，

解得，
∴点坐标 或.
【小问3详解】
设
当，且时，
①如图2，点在直线上方时，
过点作直线则轴于点，过点作于点,
则
又
，解得.
则
则
②
如图3，由得
解得.
则
∴.
当,且时,如图4
作轴于，轴于,
则，
则，解得，
则，
.
综上，点的坐标为或.
【点睛】本题综合性较强，难度较大.主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及数形结合思想和分类讨论思想.注意第（3）小题考虑问题要全面.正确的画出图形是解题的关键.