湖北省恩施土家族苗族自治州来凤县实验中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每题3分）
1. 在、、、、3.1416、中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律无限不循环的数．由此即可判定无理数个数．
【详解】解：∵=7，是开方开不尽的数.
∴无理数是：，共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．
2. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离，理解“点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离”是解题的关键．
过点作直线的垂线，垂足为，线段的长就是点A到直线距离，据此求解即可．
【详解】解：线段的长表示点A到直线距离的是：
故选：C．
3. 某会场的台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要（ ）米地毯才能铺好整个台阶．
A. 2.5B. 5C. 7.5D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此可得出答案．
【详解】解：楼梯的长为米，高为米，则红地毯至少要米．
故选：C．
【点睛】本题是一道实际问题，难度不大，关键是利用平移的性质得出地毯长的表示形式．
4. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】
【详解】∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵∠1=20°，
∴∠2=45°﹣∠1=25°，
故选：B．
5. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找准两个角之间的关系；根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、与非同位角，内错角，同旁内角，故不能判断直线平行，故本选项不符合题意；
B、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故本选项符合题意；
C、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故本选项不符合题意；
D、，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出，故本选项不符合题意；
故选：．
6. 给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．
【详解】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；
（2）强调了在平面内，正确；
（3）不符合对顶角的定义，错误；
（4）直线外一点到这条直线垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离，正确理解相关概念是解题的关键．
7. 如图，矩形纸片沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得出，
，
，
，
，
解得．
∴
故选：C．
8. 如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A. y＝x+zB. x+y﹣z＝90°C. x+y+z＝180°D. y+z﹣x＝90°
【答案】B
【解析】
【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【详解】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
9. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少40°，则的度数为（ ）．
A. 20°B. 55°C. 20°或125°D. 20°或55°
【答案】C
【解析】
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是x度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
，
解得，，
故，
②两个角互补时，如图2：
，
所以，
故的度数为：或
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与数量关系．
10. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 2或12B. 2或C. 或12D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.
故选D.
二、填空题（共6小题，每题3分）
11. 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【解析】
【详解】利用三角板中两个60°相等，可判定平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行
考点:平行线的判定
12. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．
【答案】10
【解析】
【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
13. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
14. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有______（填序号）．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的知识．根据任何一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，特别地，零的算术平方根仍旧是零逐一进行判断即可．
【详解】解：①负数没有平方根，故①错误；
②反例：0的算术平方根是0，故②错误；
③当时，的算术平方根是，故③错误；
④的算术平方根是，故④错误；
⑤算术平方根不可能是负数，故⑤正确．
所以不正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
15. 若与是同一个数的平方根，则为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．
【详解】解：∵与是同一个数的平方根，
∴时，
解得：，
时，
解得：，
综上可知，为或，
故答案为：．
16. 若|3﹣a|+=0，则a+b=_____________.
【答案】1
【解析】
【详解】∵|3﹣a|+=0，
∴3﹣a=0，2+b=0，
∴a=3,b=-2，
∴a+b=3+(-2)=1，
故答案为1.
三、解答题（共8小题，共72分）
17. （1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式中的．
①；
②．
【答案】（1）①，②2；（2）①,②
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，平方根、立方根的计算．
（1）①先算乘方，绝对值，立方根，再算乘法，最后算加减，②先算绝对值，算术平方根，立方根，乘方，再算乘法，最后算加减；
（2）①先移项，后系数化为1，再开方即可，②先系数化为1，再开立方即可．
【详解】解：（1）①原式
；
②原式
；
（2）①
;
②
．
18. 已知：如图，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先通过内错角相等，得再结合角的等量代换，即可作答．
【详解】证明
；
又，
∴
19. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算．
（1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值；
（2）把a、b、c值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根；
【小问1详解】
解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴整数部分为6，
即，
因此，，，；
【小问2详解】
解：当，，时，
，
∴．
20. 如图，，平分，与相交于F，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的意义；由得，由角平分线与，可得，即可证明结果．
【详解】证明：∵，
∴；
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴．
21. 如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
【详解】证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD．
∵∠P=∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC=∠QCB，
∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，
即∠1=∠2．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
22. 如图所示，于点F，于点M，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用．由垂直的性质得到，进而可证，根据平行线的判定得到，再由，可证，然后根据平行线的判定即可得到．
【详解】证明：∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（平行于同一直线的两直线互相平行）．
23. 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
【答案】BE∥DF，理由见解析
【解析】
【分析】根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC＋∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【详解】解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，
∴∠1＋∠3＝（∠ABC＋∠ADC）＝×180°＝90°，
又∵∠1＋∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB
∴BE∥DF
【点睛】本题考查了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如．
24. 已知，点B为平面内一点，于B．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系．
（2）如图，过点B作于点D，求证：．
（3）如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，BE平分，若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；
（2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到；
（3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，．
【小问1详解】
如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
【小问2详解】
如图2，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，．
【小问3详解】
如图3，过点B作，
∵BF平分，BE平分，
∴，，
由（2）知，
∴，设，，
则，，，
，
∴
∵，，
∴，
中，由得
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．