江西省赣州市崇义县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分120分．）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 实数 ，，，中无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 以下生活现象最能体现“垂线段最短”这一道理的是（ ）
A. 将弯曲的河道改直B. 测跳远成绩
C. 木工师傅用角尺画平行线D. 握紧剪刀的把手剪开物体
4. 古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长人，他发现在当时的城市塞恩（图中的点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点），直立杆子的影子却偏离垂直方向（图中），由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“”所依据的数学定理是（ ）
A. 两直线平行，内错角相等B. 两直线平行，同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角互补D. 内错角相等，两直线平行
5. 如图，数轴上表示0，1，点分别为A，B，C，点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，则点D所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 将命题“对顶角相等”改写为“如果……那么……”的形式，可写为______．
8. 的算术平方根是________．
9. 已知一个正数两个不同的平方根分别是和，则_____．
10. 若点向上平移3个单位后得到点在x轴上，则m的值为______．
11. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到则四边形的周长为___．
12. 已知，点在的边上，，且的一边与平行，则的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
14. 为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置分别表示为，，请标出x轴，y轴和原点O，并写出点C的坐标；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，标出另外三棵古树，，的位置．
15. 如图，已知，，，求的度数．
16. 如图所示，直线相交于O，平分，，，求的度数．
17. 有一块面积为400平方厘米正方形纸片．
（1）该正方形纸片的边长为______；
（2）小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 完成下面的证明：
如图，已知，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴（ ），
即，
∴．
∵，
∴ （ ），
∴ （ ）．
又∵，
∴（ ）．
19. 类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
（1）81的四次方根为______；的五次方根为______．
（2）若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______．
（3）解方程：
①
②
20. 下面是小李同学探索的近似数的过程：
面积为107的正方形边长是，且，
设，其中，画出如图示意图，

图中，，
，
当较小时，省略，得，得到，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．例如：点P(1,4)的“3级关联点”为，即Q(7,13)．
（1）已知点的“级关联点”是点B，求点B的坐标；
（2）已知点的“a级关联点”为，求的值；
（3）已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，．
如图，当点在点的右侧，且时，求的值；
当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．