江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属中学仙林学校初中部2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：的算术平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据积的乘方，分别乘方，再由幂的乘方得出结果：．故选A．
考点：积的乘方、幂的乘方运算法则．
3. 如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键．
，，则，，；结合选项即可求解
【详解】解：从图可知，，
∴，，，故、错误；
∴，故正确，错误，
故选．
4. 若，下列结论中正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．
【详解】解：，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5. 如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ，根据三角形内角和定理即可求得
【详解】解：如图，连接，
设，
在中，
故选C
【点睛】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
6. 已知整式，下列关于整式的值的结论：
①的值可能为；
②当时，的值随的增大而增大；
③当为小于的实数时，的值大于；
④不存在这样的实数，使得的值小于．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】当，
∴，
解得：，，
∴的值可能为，
∴正确；
设函数解析式为：，如图
∴对称轴为：，函数图象的开口向上，
∴当，函数随的增大而增大，
∴正确；
同理，当，函数随的增大而减小，
∴当时，函数在轴是上方，即，
∴正确；
设函数的解析式为：，如图
∴当时，函数有最小值，最小值为：
∴无论取任何数，
∴正确；
综上所述：正确的为：
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 计算：________； ________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根据绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：；，
故答案为：3；．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，是解题的关键．
9. 某粒子的直径约为0.000 000 21米，用科学记数法表示0.000 000 21是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可 ．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．
10. 计算的结果是________．
【答案】2
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．
11. 分解因式的结果是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
12. 设、是方程的两个根，且，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ．
13. 若函数（k为常数，且）过点，当时，y的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式为：，即可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，问题随之得解．
【详解】∵函数过点，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，
∵，
∴，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据函数解析式判断出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，是解答本题的关键．
14. 如图，在矩形中，是边上的点，经过三点的与相切于点．若，，则的半径是__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接并延长，交于，过点作于，连接，证得四边形是矩形，得到，，由，得到四边形是矩形，四边形是矩形，推出，由勾股定理，得到，求出即可．
【详解】解：连接并延长，交于，过点作于，连接，
∵与相切于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴
解得
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理及切线的性质定理，矩形的判定及性质，勾股定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
15. 如图，，且．点是线段上一动点，过点作的垂线，交射线于点，则的长的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是对相似三角形知识的综合考查，熟练掌握相似三角形及二次函数知识是解决本题的关键.先证，设为，根据相似比写出关于的代数式，从而求出最大值
【详解】解：设为，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴当时，有最大值，
故答案为：
16. 如图，过正方形ABCD的中心O的直线分别交DC、AB于点E、F，将该正方形沿直线EF折叠，点A、D分别落在点A′、D′ 的位置，连接A′C．若AB＝8，DE＝1，则A′C的长是_____．

【答案】．
【解析】
【分析】连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M′，连接OA′，AA′交EF于N．求出Rt△EMO的三边，由△AA′C∽△OME，可得，即可解决问题；
【详解】如图，连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M，连接OA′，AA′交EF于N．

∵DB是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDE=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴DM=EM=，OD=4，
∴OM=，
在Rt△OME中，，
∵OA=OA′=OC，
∴∠AA′C=90°，
∵∠DOA=90°，
∴∠EOM+∠AON=90°，
∵∠OAN+∠AON=90°，
∴∠EOM=∠CAA′，
∵∠AA′C=∠OME，
∴△AA′C∽△OME，
∴，
∴，
∴CA′=．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
三、解答题（本大题共10小题，共88分）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】把分子、分母因式分解，进行约分；先算括号里，再把除法变成乘法计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是能够对分式进行约分．
18. 解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】原不等式组的解集为－1≤x＜3，正整数解有：1，2．
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集内的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得x≥－1，
解不等式②，得x＜3．
∴原不等式组的解集为－1≤x＜3，
正整数解有：1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19. 我国实施科教兴国战略以来，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：

年~年利润率
（1）年度该企业总成本是________亿元；
（2）求该企业五年以来的年平均研发成本；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论．
【答案】（1）年度该企业总成本是亿；
（2）该企业五年以来的年平均研发成本亿；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得；
（2）根据算术平均数的定义求解可得；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：年研发成本是亿，占总成本的，
∴年度该企业总成本是亿；
【小问2详解】
解：由题意得：该企业五年以来的年平均研发成本亿；
【小问3详解】
解：①该企业年的总成本为亿元，年的利润率是，
所以年的利润是亿元；
②该企业近五年的研发成本分别是亿元、亿元、2亿元、亿元、亿元，年利润率分别是、、、、，
可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法．
20. 如图，在中，、分别是、的中点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判断和性质．全等三角形的判断和性质以及矩形的判断，熟记各种特殊几何图形的判断方法和性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质易证，，再证明，即可证明；
（2）首先证明四边形四边形是平行四边形，再证明，由一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，．
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：，
．
又，
四边形是平行四边形．
，分别是的中点，
．
即．
四边形是矩形．
21. 2022年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
（1）求小明观看的项目是A，B的概率；
（2）小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)小明观看的项目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明观看的项目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，
所以小明观看的项目是A，B的概率为；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表知，共有36种等可能结果，其中小明和小颖观看的项目完全不相同的有6种结果，
所以小明和小颖观看的项目完全不相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22. 如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】160米
【解析】
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F ，设米，则米，再证得四边形是矩形，可得米，米，从而得到米，在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F ．
在中，，
∵，
∴．
设米，则米．
∵
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米．
在中，，
∵，
∴，解得： ．
∴（米）．
答：河流的宽度为160米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
23. 某宾馆有位旅客要在当日上午点前到达火车站，他们上午点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与之间的函数关系，折线表示与之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距__________，第二批旅客的步行速度是__________；
（2）解释图中点的实际意义；
（3）司机在接到第二批旅客时发现已经不能在上午点前到达火车站，请说明理由；
（4）汽车在接到第二批旅客后车速至少为__________，才能保证不晚于上午点到达．
【答案】（1）；；
（2）点的实际意义为：汽车从宾馆出发后到再次到达距旅店处与第二批旅客相遇；
（3）见解析； （4）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（）根据图象，结合题意解答即可；
（）根据图象，结合题意解答即可；
（）根据题意求出汽车的速度，进而判断第二批旅客能否在上午点前到达火车站；
（）根据“路程÷时间速度”可得汽车的速度．
【小问1详解】
解：根据题意可知宾馆与火车站相距，
第二批旅客的步行速度是：（），
故答案为：；；
【小问2详解】
解：图中点的实际意义为：汽车从宾馆出发后到再次到达距旅店处与第二批旅客相遇；
【小问3详解】
解：汽车原来的速度为：（/），
∵，
∴第二批旅客不能在上午点前到达火车站；
【小问4详解】
解：（/），
∴车速至少为，才能保证不晚于上午点到达．
24. 已知：，请按要求完成下列作图．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可作必要文字说明）
（1）在图①中作，使得与边相切且过点；
（2）在图②中作一点，使得点到距离是到的距离的倍．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．
（1）作平分，交于点以为圆心，为半径作，则即为所求；
（2）在上依次截取以为圆心，为半径画弧，交于点连接过点作交于点，则点即为所求
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
理由如下：过点作于点，
∵，为的半径，
∴是的切线，
由作图可得，平分，，
∴，
∴是的切线，即为所求图形；
【小问2详解】
解：如图示，点即为所求；
由于则，
作于，于，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是到的距离的倍
25. 如图，已知内接于为直径，过点作交切线于点，连接与交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径长；
（3）若，则__________．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，设交于．证明即可得证；
（2）由勾股定理得，进而利用三角函数即可得解；
（3）设，，设．证明，根据相似三角形的性质得出，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，设交于．

是直径，
，
∵，，
，
，
，，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴即
∴，
∴的半径长为；
【小问3详解】
∵，
设，，设．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得舍或，
∵，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查切线的判定，平行线的性质与判定，正切的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
26. 已知二次函数．
（1）求证：该函数图象与x轴必有交点；
（2）当m