湖南省郴州市汝城县思源实验学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，8，10D. 2，3，4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，根据：“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可．
【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，不是勾股数，符合题意；
故选D．
2. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. 8C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，在中，，，，
∴；
故选：C．
3. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可．
【详解】解：在中，，是斜边上的中线，
．
．
故选：．
4. 如图，在中，，，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了含直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求解即可
【详解】解：在中，，，则，
故选：A
5. 若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解．
【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：，
故选A．
6. 如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）

A. B. 与互余C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故选D．
7. 过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可．
【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了8个三角形，
∴，
∴，
故这个多边形的边数是10．
故选：B．
8. 如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解．
【详解】解：∵，，
∴．
当时，的值最小．
∵平分，，，
∴．
即的最小值是3．
故选：C．
9. 如图所示，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键．
【详解】解：由三角形内角和可知，
∵，
∴，
则
，
故选：B．
10. 如图，在中，垂直平分于点E，，，则的对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 正五边形的外角和等于 _______◦．
【答案】360
【解析】
【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度
∴正五边形的外解和也为360°
故答案为360
12. 如图，点D在上，．若，则___________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13. 如图，在中，，则_____度．

【答案】100
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角相等解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14. 如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m．
【答案】4
【解析】
【详解】解：解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2
设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，
解得x=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理．
15. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于点E，若，则CE的长为______．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意易得，BD=BC，则有，然后可得△BDC是等边三角形，进而可得BD=DC=2，则问题可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，，
∴，
∵，，
∴，
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=DC=2，
∴；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
16. 如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，再证明，然后利用等面积法求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
17. 如图，在中，，平分交于点，连结．若，平分．则的周长为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而根据等边对等角得出，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18. 如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________
【答案】
【解析】
【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则
在中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 已知：如图，．
（1）用尺规作图法做平分线交于点D(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）15
【解析】
【分析】本题考查了作图——角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点作与点，由角平分线的性质定理得到，即可求出的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即所求；
【小问2详解】
解：如图，过点作与点，
是的平分线，，，
，
，
，
．
20. 如图，一块草坪的形状为四边形，其中∠，．求这块草坪的面积．

【答案】该草坪的面积为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理在实际生活中的运用，直角三角形面积计算，连接，则为直角三角形，为斜边，求出，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【详解】解：连接，

，
在直角中，由勾股定理得，
，
，
又，
在中，
，
，即是直角三角形，
，
答：该草坪的面积为．
21. 如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明．
由平行四边形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．

（1）直接写出___________，___________；
（2）判断的形状，并说明理由；
【答案】（1）；
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理解三角形．
（1）根据勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：，；
故答案为：；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
根据题意得：，
∴，
∴是直角三角形．
23. 如图，已知相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明．
（1）根据已知条件证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据，可得，进而可得的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
24. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，，，
即可得根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则______；
（2）①若，，求的值；
②若，求的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）12 （2）①；②17
（3）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式变形求出的值，从而求出的值；
（2）①先求出的值，再求出的值；②先把要求的式子变形之后在代入求值；
（3）先设出、的长度，再代入题目中得到关于m、n的式子，再根据完全平方公式求出的值，最后求出阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：12；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∴，
②∵，
∴
；
【小问3详解】
解：设， ，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
25. 甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里．
（1）求乙搜救艇的航行方向；
（2）成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？
【答案】（1）北偏东方向
（2）30海里
【解析】
【分析】（1）由勾股定理的逆定理求得，再结合甲搜救艇的航行方向即可求解；
（2）先求得和的长度，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：海里，海里，
∵海里，
∴，，
∵，
∴，
即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向；
【小问2详解】
解：由题意，海里，海里，
∴海里，海里，
∵，
∴海里，
答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题关键．
26. 阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则．
根据材料，解决下列问题：
如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为．
（1）当时，__________；
（2）当为何值时，是等腰三角形？请说明理由；
（3）当为何值时，是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质；等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用；
（1）根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据即可求解；
（2）依题意当是等腰三角形，则是等边三角形，则只有一种可能，根据，建立方程，即可求解．
（3）分，两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵中，，，，
∴，
∵动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，
∴
当时，
【小问2详解】
解：∵，
∴当是等腰三角形，则是等边三角形，
∵，，
过点作于点，
∴当时，
解得：
即时，是等腰三角形
【小问3详解】
解：当时，，
∴
即
解得：
当时，
∴
即
解得：
综上所述，或时，是直角三角形