2024届重庆市九龙坡区高三二模数学试题

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本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（ ）
1.设集合，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内的对应点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.设为正项等比数列的前项和，已知，，则的值为（ ）
A.20B.512C.1024D.2048
4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A.B.C.D.
5.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点，，已知点在第一象限，过作该抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则的长度为（ ）
A.B.C.D.
6.有一组样本数据，，，，，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.则的值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.为偶函数
C.在上单调递增
D.若，则的最小值为
11.已知，是双曲线的左、右焦点，且，点是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交轴于点，过点作垂直于于点.则下列说法正确的是（ ）
A.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2
B.当时，面积为
C.当时，点的坐标为
D.若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知点，，是直线上任意一点，则______.
13.有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为______.（用数字作答）
14.若函数在定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”.设，若是的一个“点”，则实数的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点作于点，连接.
（I）证明：；
（II）若，求平面与平面所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（I）当时，求函数在点处的切线方程；
（II）设函数的极大值为，求证：.
17.（本小题满分15分）
某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响.
（I）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（II）设选手甲所得总奖金为，求的分布列及其数学期望.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，两焦点，与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点.
①设内切圆的圆心为，求的最大值；
②设，，证明：为定值.
19.（本小题满分17分）
高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数，记表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”.例如：，.
（I）设，，求证：是的一个周期，且恒成立；
（II）已知数列的通项公式为，设.
①求证：；
②求的值.