江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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分值：150分 时间：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分． 每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 为了解某市八年级学生的体重情况，相关人员抽查了该市1000名八年级学生，则下列说法中错误的是（ ）
A. 该市八年级学生的全体是总体B. 每个八年级学生的体重是个体
C. 抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本D. 这次调查样本的容量是1000
【答案】A
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A、该市八年级学生的体重情况是总体，故A错误；
B、每个八年级学生的体重是个体，故B正确；
C、抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本，故C正确；
D、这次调查样本的容量是1000，故D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3. 在中，，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合得出，再由平行线的性质计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
4. 下列成语中，属于随机事件的是（ ）
A. 水中捞月B. 瓮中捉鳖C. 守株待兔D. 探囊取物
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键，根据随机事件的定义即可得到答案．
【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故A错误；
B．瓮中捉鳖是必然事件，故B错误；
C．守株待兔是随机事件，故C正确；
D．探囊取物是必然事件，故D错误；
故选：C．
5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等B. 对角相等
C. 对角线相等D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
6. 下列各式中：，分式的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：是分式，不是分式，
分式的个数是个，
故选：C．
7. 使分式有意义的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是根据分母不等于0列式计算．
详解】解：由题意得，，
解得：，
故选C．
8. 下列各式一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是分式的基本性质，做题的根据是看是否符合分式的基本性质，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0．
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．
【详解】A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；
B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能为0，故选项B错误；
C符合分式的基本性质，故选项C正确．
故选：C．
9. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式化简，最简分式；
根据最简分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.，不是最简分式；
B.，是最简分式；
C.，不是最简分式；
D.，不是最简分式；
故选：B．
10. 如图，把正方形的边绕着点逆时针旋转，得到线段．射线与边交于，则大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得出，进而得出是等边三角形，是等腰三角形即可求解．
【详解】解：把绕着点逆时针旋转，得到线段，
，，
是等边三角形，是等腰三角形，
，，
，
，
故选：B．
11. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，，对角线相交于点，分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的横坐标是（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出为对角线中点解答．根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
对角线中点，
由作图可知，垂直平分线段，
连接，则，

延长交轴于点，则轴，设，则，
在中，有，
解得，，
点的横坐标为3．
故选：C
12. 如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
【详解】解：如图，取中点，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分． 不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）
13. 将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是___．
【答案】0.25
【解析】
【分析】根据频率的意义，各个小组的频率之和是1，可得第三组的频率是1-0.23-0.52，再计算即可．
【详解】∵各个小组的频率之和是1，第一组的频率是0.23，第二与第四组的频率之和是0.52，
∴第三组的频率是1-0.23-0.52=0.25；
故答案为：0.25．
【点睛】本题考查了频率的意义，用到的知识点是各个小组的频率之和是1，关键是根据各个小组的频率之和是1和已知条件列出算式．
14. 分式和的最简公分母是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是最简公分母，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”．据此即可得出答案．
【详解】解：∵分式的分母，都是单项式，
∴分式与的最简公分母是，
故答案为：．
15. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______．
【答案】##24平方厘米
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示：
设菱形中，对角线，
∵四边形是菱形，对角线，
∴，
，
，
∴菱形的面积为∶．
故答案为：．
16. 一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_____小时．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的，工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
【详解】解：设该工程总量为1，
则二人合作完成该工程所需天数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法．解题的关键在于明确所求的量的等量关系．
17. 若分式的值是正整数，则正整数的值为________．
【答案】2或3或5．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的值，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．利用已知条件得到关于的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可．
【详解】解：分式的值是正整数，
的整数，且的可能值为：1，2，4，
或3或5．
故答案为：2或3或5．
18. 如图，中，是中点，平分，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．延长交于，证明，根据全等三角形的中线得到，，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
19. 如图，在四边形中，，若，则对角线的长是________．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，在上方作等边，连接，则，，求出，由勾股定理得出，证明得出，即可得解．
【详解】解：如图，在上方作等边，连接，

则，，
，
，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
故答案为：．
20. 已知实数，若，则的最大值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为，结合，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法和异分母分式减法：
（1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）先通分，然后根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
22. 如图，在中，点、分别是、的中点． 求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．在中，根据平行四边形的性质可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形．
【详解】证明：在中，，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
23. 某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是 ；
（2）在扇形统计图中，选择“作品1”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级学生共有500名，请估计七年级学生中选择“作品3”的人数．
【答案】（1）50 （2）64.8°
（3）见解析 （4）180人
【解析】
【分析】（1）用喜欢作品4的人数除以所占百分比可得答案；
（2）求出喜欢作品1的百分比，再乘以即可；
（3）用总人数分别减去喜欢其它3个作品的人数求出喜欢作品2的人数，补全统计图即可；
（4）先求出喜欢作品3的所占的百分比，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
参加此次问卷调查的学生人数为（人）．
故答案为：50；
【小问2详解】
选择“作品1”的学生所应扇形的圆心角的度数是．
故答案为：64.8°；
【小问3详解】
喜欢作品2的人数为（人）．
如图所示．
【小问4详解】
七年级学生中选择“作品3”的人数为（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，掌握样本估计总体的思想是解题的关键．
24. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）20．
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质求出OC=OD，根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据菱形判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．
【小问1详解】
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴四边形OCED是菱形．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=10，
即OC=AC=5，
∵四边形OCED是菱形，
∴OC=OD=DE=CE=5，
∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
25. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球实验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，不断重复上述过程. 下表是实验得到的一组统计数据：
（1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的 （填
写一种），能使我们更好地观察摸到黄球频率的变化情况；
（2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 ；（精确到0.1）
（3）试估算布袋中黄球的只数.
【答案】（1）折线统计图；（2）0.6，0.4；（3）24只．
【解析】
【详解】试题分析：
（1）要观察摸到黄球频率的变化情况，根据各统计的特点可知应该选用折线统计图；
（2）①计算出其平均值即可；
②1-①得到的频率即可得；
（3）黄球个数=球的总数×得到的黄球的概率．
试题解析：（1）根据统计图的特点，要想观察摸到黄球频率的变化情况，应该选用折线统计图，
故答案为折线统计图；
（2）①∵摸到黄球的频率为（0.72+0.67+0.61+0.59+0.61+0.59+0.63+0.60）÷8≈0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为0.6；
②∵袋子中只有黄球与白球，∴摸到白球频率约为1-0.6=0.4，
故答案为0.4；
（3）布袋中黄球约有：40×0.6=24只.
26. 在矩形纸片中，．

（1）尺规作图：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．在图1中，作出以为对角线的菱形，使菱形的另两个顶点在边、上．
（2）折叠计算：如图2，若，将矩形纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点、交与点，作出点、，并求出折痕的长．
（3）操作探究：如图3，若将矩形（足够长）沿对折后展开，将纸片沿折叠，使点落在上的点处，再沿折叠，折痕交于点．
①试探究点的落点的位置，并加以说明；
②判断四边形的形状．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①见解析；②四边形为菱形
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线、菱形的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）作的垂直平分线交、于、，则四边形即为所求；
（2）由勾股定理得出，由（1）可得：四边形为菱形，则，，，设菱形的边长为，则，，由勾股定理得出，最后再由勾股定理求出长，即可得解；
（3）①延长交于，则为的落点，证明出是的垂直平分线，即可得解；②连接，证明得出，从而可得四边形为平行四边形，结合即可得证．
【小问1详解】
解：如图：作的垂直平分线交、于、，交于，则四边形即为所求，
，
垂直平分，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：四边形为矩形，
，，
，
将矩形纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，
折痕为的垂直平分线，如图所示：
，
由（1）可得：四边形为菱形，
，，，
设菱形的边长为，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
；
【小问3详解】
解：①如图，延长交于，则为的落点，
，
由沿折叠可得：，，，
由沿折叠可得：，，
，
，
，
，，
，
，且，
，
是的垂直平分线，即为的落点；
②连接，
，
，
，
，，
，
，
由①可得：，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
27. 如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“对差”分式，这个常数为“对差”值． 如，所以与互为“对差”分式．
（1）已知：，判断和是否互为“对差”分式？请说明理由；
（2）若分式与互为“对差”分式，求出、的值及“对差”值；
（3）已知，与（为非等常数）互为“对差”分式，请求出的值．
【答案】（1）和是 “对差”分式，理由见解析
（2）“对差”值是
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义，作差后得出，再根据定义得出，最后求解．
【小问1详解】
和是 “对差”分式；
理由：
和是 “对差”分式；
【小问2详解】
和是 “对差”分式；
，
解得：，
；
“对差”值是；
【小问3详解】
和是 “对差”分式，
，
即
．
28. 在边长为4的正方形中，

（1）如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动．
①求证：；
②当点运动到何处时，？请加以证明．
（2）如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点运动到的中点处时，，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）①证明得出，由得出，最后由三角形内角和定理得出，即可得证；②连接，证明得出，证明点、、、四点共圆，得出，结合①中的，得出，再由平行线的性质得出，从而得出，即可得证；
（2）连接，延长到点，使，连接交于，连接，证明，得出，从而得出，则当点在点处时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：由题意得：，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
②当点运动到的中点处时，，
理由如下：连接，
，
点为的中点，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点、、、四点共圆，
，
由①得：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，延长到点，使，连接交于，连接，
，
四边形为边长为4的正方形，
，，
由题意得：，
在和中，
，
，
，
，
当点在点处时，的值最小，即的值最小，
，
，
的值最小为．摸球的次数
50
100
200
300
500
1 000
2000
3 000
摸到黄球的频数
36
67
128
176
306
593
1256
1803
摸到黄球的频率
0.72
0.67
0.64
0.59
0.61
0.59
0.63
0.60