2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0互相平行，则实数a的值为( )
A. −2B. 2或−1C. 2D. −1
2.设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA⋅AF=−4，则点A的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )
A. 55B. 2 55C. 3 55D. 4 55
4.中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线y=1，y=−1以及双曲线C的右支围成的图形(如图中阴影部分所示)绕y轴旋转一周所得几何体的体积为 2dcπ(其中c2=a2+b2)，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 22C. 3D. 33
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为 2，则C的方程为______．
6.直线x+y+1=0被圆C：x2+(y−1)2=4截得的弦长为______．
7.两条直线l1：3x−4y+9=0和l2：5x+12y−3=0的夹角大小为______．
8.设直线l经过点(−1,1)，则当点(2,−1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______．
9.若椭圆x2m+y2=1的离心率为 32，则m的值为______．
10.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ．
11.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm．
12.已知圆A：(x+2)2+y2=9，圆B：(x−2)2+y2=1，圆C与圆A、圆B外切，则圆心C的轨迹方程为______．
13.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|·|PB|的最大值是______．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
15.已知A是抛物线x2=2py(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点.当|AF|=4时，∠OFA=2π3，则|OA|= ______．
16.已知曲线W1：x2+y2=m2，W2：x4+y2=m2，其中m>0．
①当m=1时，曲线W1与W2有4个公共点；
②当00，曲线W1围成的区域内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线W2围成的区域内整点个数．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知平面内两定点M(−1,0)，N(1,0)，动点P满足| PM |+| PN |=2 3．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线y=x+1与曲线C交于不同的两点A、B，求|AB|．
18.(本小题14分)
已知直线l：x−y+1=0和圆C：x2+y2−2x+4y−4=0．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
(2)求过点(4,−1)且与圆C相切的直线方程．
19.(本小题14分)
某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为3 2km，线路AB段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．
(1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
(2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
20.(本小题18分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2．
(1)若双曲线的离心率为 2，且M(0,2 6)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；
(2)若a=1，点M在双曲线C的右支上，且直线F1M的斜率为1b.若∠F1MF2=3π4，求b．
(3)在(1)的条件下，若动直线l与C恰有1个公共点P且与C的两条渐近线分别交于A、B记△AOP的面积为S1，△BOP的面积为S2(O是坐标原点)，问：1S1+1S2是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(1)若|AB|=6，求点M的横坐标；
(2)证明：直线MN过定点；
(3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0互相平行，
∴a(a−1)=2×1，即a2−a−2=0，解得a=2或−1，
当a=2时，两直线重合，不符合题意，
当a=−1时，两直线不重合，符合题意，
故实数a的值为−1．
故选：D．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由已知可得F(1,0)，设A(y024,y0)，
则OA=(y024,y0)，AF=(1−y024,−y0)，
由OA⋅AF=y024⋅(1−y024)−y02=−4，解得y0=±2，
∴A(1,±2)．
故选：C．
设A(y024,y0)，利用坐标运算计算OA⋅AF，然后解方程即可．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题．
3.【答案】D
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，
可得c= 5a，所以b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，
圆的圆心到直线y=2x的距离为：|4−3| 1+4=1 5，
所以|AB|=2 1−15=4 55．
故选：D．
利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
4.【答案】A
【解析】解：焦点(c,0)到y=bax的距离d=bac 1+(ba)2=b，
令y=m(−1≤m≤1)，可得截面为一个圆环．
由y=my=bax可得x=amb；由y=mb2x2−a2y2=a2b2，解得x=±a m2+b2b．
所以截面的面积为π[(a m2+b2b)2−a2m2b2]=πa2，
由对称性和祖暅原理可得所得几何体的体积为2πa2= 2dcπ= 2πbc，
即有4a4=2b2c2，即有2a4=c2(c2−a2)，
即(2a2−c2)(c2+a2)=0，
故c2=2a2，所以e=ca= 2．
故选：A．
根据点到直线的距离公式得d=b，利用祖暅原理求解体积，即可根据离心率公式求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，化归转化思想，属中档题．
5.【答案】x22−y22=1
【解析】解：根据题意可设所求方程为x2a2−y2b2=1，(a>0,b>0)，
又c=2ca= 2b2=c2−a2，解得a= 2，c=2，b=2，
∴所求方程为x22−y22=1．
故答案为：x22−y22=1．
根据题意，建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
6.【答案】2 2
【解析】解：圆C：x2+(y−1)2=4的圆心C(0,1)，半径r=2，
点C(0,1)到直线x+y+1=0的距离d=2 12+12= 2，
所以所求弦长为2 r2−d2=2 22−( 2)2=2 2．
故答案为：2 2．
利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式计算即得．
本题考查直线与圆相交的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】arccs3365
【解析】解：设两条直线l1：3x−4y+9=0的斜率为k，l2：5x+12y−3=0的斜率为k′，
这两条直线的夹角为θ，0≤θ≤π2，则k=34，k′=−512．
由两条直线的夹角公式可得tanθ=|k′−k1+k⋅k′|=5633，∴θ=arctan5633，
故答案为arctan5633．
先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角．
本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数的应用，属于中档题．
8.【答案】3x−2y+5=0
【解析】解：设A(−1,1)，B(2,−1)，
当AB⊥l时，点B与l距离最大，
∴直线l的斜率k=−11+1−1−2=32，
∴此时l的方程为：y−1=32(x+1)，即为：3x−2y+5=0；
故答案为3x−2y+5=0．
先A(−1,1)，B(2,−1)且当AB⊥l时点B与l距离最大，进而可求出直线l的斜率，再根据点斜式方程得到答案．
本题主要考查直线间的位置关系．考查基础知识的灵活应用．
9.【答案】4或14
【解析】解：椭圆x2m+y2=1的离心率为 32，
可得 m−1 m= 32，或 1−m1= 32，解得m=4或14．
故答案为：4或14．
利用椭圆的离心率列出方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
10.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力．
判断四边形PF1QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
【解答】
解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=8，
所以m2+2mn+n2=64，
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2−b2)=48，
即m2+n2=48，
所以mn=8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．
故答案为：8．
11.【答案】278
【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
由题意得A的坐标为(92,3)，
设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，则814=6p，解得p=278．
故该抛物线的焦点到准线的距离为278cm．
故答案为：278．
以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，根据题意得到点A的坐标，代入求出参数p的值，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】x2−y23=1,x∈(1,+∞)
【解析】解：设圆C的半径为r，
圆A：(x+2)2+y2=9的圆心A(−2,0)，半径r1=3，
圆B：(x−2)2+y2=1的圆心B(2,0)，半径r2=1，
因为圆C与圆A、圆B外切，
则|CA|=r+3，|CB|=r+1，
所以|CA|−|CB|=20)，则对应W2的点为(a, b)，
即b是整数时， b不一定是整数，④正确，
故答案为：①③④．
由题意可得W1，W2都关于x轴，y轴对称，关于原点对称，
对于①，当x(x≠0)相同，W2的|y|更大，相对于圆凸出，即可判断①是否正确，
对于②，曲线W1围城的区域面积小于曲线W2围城的区域面积，即可判断②是否错误，
对于③，随着m的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，即可判断③是否正确，
对于④，若对于W1的一个整点为(a,b)(a,b>0)，则对应W2的点为(a, b)，b是整数时， b不一定是整数，即可判断④是否正确，
本题考查曲线与方程，面积，解题中注意特殊值的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，
其中c=1 , a= 3 , ∴b= 2，
所以所求动点P的轨迹C的方程为x23+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线与椭圆的方程y=x+1x23+y22=1消y整理得：5x2+6x−3=0，
所以x1+x2=−65，x1x2=−35，
∴| AB |= 1+12 ( x1+x2 )2−4x1x2= 2 ( −65 )2−4×( −35 )=8 35．
【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，是中档题．
(1)判断P点的轨迹为椭圆，求出a，b，即可得到椭圆方程．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程y=x+1x23+y22=1消利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
18.【答案】解：(1)由圆C：x2+y2−2x+4y−4=0可得，圆心C(1,−2)，半径r= 4+16+162=3，
圆心C(1,−2)到直线l：x−y+1=0的距离为d=|1+2+1| 2=2 20，由直线MN过定点(3,0)，
此时|xQ−xG|>3−(−1)=4，
同理，当m1