北京市海淀区北京理工大学附属中学分校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（解析版+原卷版）

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一、单选题
1. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
2. 下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为（ ）
A. 20°B. 40°C. 45°D. 50°
5. 已知=1，则代数式的值为（ ）
A. 3B. 1C. ﹣1D. ﹣3
6. 已知一正边形的内角和等于，则这个正多边形的每个外角等于（ ）
A. B. C. D.
7. 罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（ ）
A. ①B. ②C. ①③D. ②③
8. 如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④
二、填空题
9. 若分式的值为0，则的值为______.
10. 方程的解为______．
11. 将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为___________．
12. 如图，A，B，D三点在半径为5的上，是的一条弦，且，垂足为C，若，则的长为__________．
13. 有甲､乙两组数据，如表所示：
甲､乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）．
14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为__________．
15. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．
16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元．
三、解答题
17. 计算：.
18. 解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
20. 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：等边三角形．
作法：如图，
①以点A为圆心，以的长为半径作；
②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C；
③连接．
所以就是所求作三角形．
根据小方设计尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C在上，
∴（_____________）（填推理的依据）．
同理∵点A，C在上，
∴．
∴______=_______=_______．
∴是等边三角形．（_____________）（填推理依据）．
21. 在平而直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
22. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，， ，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选．
23. 如图，在中，，是边上的中线，延长至点，作的角平分线，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
24. 如图，是的直径，过外一点P作的两条切线，切点分别为C，D，连接
（1）求证：；
（2）连接，若，,，求的长．
25. 小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点，作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是_________．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点．
（1）直接写出抛物线对称轴；
（2）若，，比较与的大小，并说明理由；
（3）若对于，，总有，求m的取值范围．
27. 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小．
28. 如图，平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．
（1）点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________；
（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．
①当时， ________；
②当时，若轴，求点P的坐标；
（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/天
11
15
28
17
16
31
25
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
0
1
2
3
0
1