吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题（解析版+原卷版）

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本试卷共5页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
4. 酒驾是严重危害交通安全违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5 已知复数满足，，则（ ）
A 3B. C. D.
6. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1
B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1
D. 函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 满足
C. 在区间的值域为
D. 在区间上有3个极值点
10. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是（ ）
A. 0C. Tn的最大值为T7D. Sn的最大值为S7
11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（ ）
A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则______．
13. 直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是______．
14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
16. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间和极值；
（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．
17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18. 正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．

（1）求证；
（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．
19. 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：，，．
（1）由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得当时，，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
268
2.76
2.7
0.4